STIELTJES A III .11 Ml II

Leyde, 6 novembre i883.

MONSIET l;.

\ ous m'avez fail un très grand plaisir par La communication de votre formule pour la décomposition d'un nombre 8 k -h 5 en cinq carrés, formule beaucoup plus cachée <pir celle que j'ai donnée. En effet, le raisonnement qui m'avail donné ma formule était assez compliqué et curieux, ce qui m'avail empêché «le reconnaître le véritable caractère de ma formule. Maintenant, j'ai reconnu que cette formule peut se démontrer d'une manière assez simple, <i l'on peut établir un grand nombre de formules analogues pour La décomposition en '>. 5, - carrés impairs; mais dans toutes ces formules entrent seulement les fonctions

^>=2(VH +.(»>=2(-r)*.

m impair, <l parcourant les diviseurs de m.

Ces fonctions jouissent toutes de la propriété exprimée par

F| m)F(n) = F( mu ),

m et // étant premiers entre eux. Mais elles ne sont point de la

ure s velle y.

nature singulière de votre fonction 6 et de cette fonction non

/. ' " ' = y i < » d — (?'<■ d' > 3 d. n = dd'

que \ <m> a\ i7, introduite.

Parmi les résultats auxquels je suis parvenu il y a quelque temps il en reste cependanl un qui me parait avoir plus d'intérêt. Le

\<iiei :

Soil n : S/.- ± 3, F(/i) le nombre des classes pour le déterminant //. excluant les formes avec les coefficients extrêmes pairs tous les deux. Mors

$'(«) est la fonction de M. Kronecker

cl parcourant les diviseurs de n.

Cette formule, en effet, no semble point rentrer dans les formules données par M. Kronecker, tandis que la sommation s'effectue encore par cette fonction simple <ï>'(/i). Dans les Monatsberichte de 187;"), p. 2a3-236, M. Kronecker a donné de nouvelles relations; mais, comme il le remarque, dans ces nouvelles formules il entre des fonctions arithmétiques plus compliquées, en sorte qu'il reste toujours encore possible que ses anciennes formules soient les seules où entrent seulement ces simples fonctions arithmétiques, qui ne dépendent que de la totalité des diviseurs d'un nombre.

J'ai communiqué cette formule, il y a quelques jours, à M. Kronecker, mais je ne sais pas encore son opinion là-dessus.

Je vous suis extrêmement reconnaissant pour l'envoi du Mémoire de M. Gierster qui ne m'était point connu. Mais je ne pourrai l'étudier, comme il le mérite, dans le premier temps, en sorte que je devrai faire usage de votre permission de le conserver assez longtemps.

Veuillez bien agréer, Monsieur, l'expression de mon profond respect et de mon entier dévouement.