STIELTJES A HÈRMITE

Leyde, 8 décembre iS83 MoNsiEi a,

.le VOUS piie de \onloii' bien présenterai Académie la Note cijointe ' ' i. L'espace m'a manqué pour indiquer commenl la théorie des fonctions elliptiques conduit à ces formules; mais il n \ aura pas d'inconvenance, je l'espère, si je donne la démonstration du

(') Sur un th<:, ri nie de Liouville. Note de M. Stieltjes, présentée par M. Ilerniitc {Comptes rendus, io décembre i883).

théorème de AI. Liouville dans une autre Note. Je pourrai alors encore indiquer les formules qui donnent les trois autres théorèmes.

J'ai été, d'abord, un peu effrayé des calculs que demandait la vérification du théorème IV. Posons

£=Y(— 1) 2 sq 8x^Kl,s„ , 5)q 8 (s 1,3,5,7,...).

Le théorème IV fait voir que dans le développement

(^ = rtj q -t- a>q* -h a3q3 -+- a>tq'' -■ . . . la partie paire

a-2q2 -H Cl; q* H- as </b

est égale à

Vy(.f2 ■- 3 ) 2)gra< .'■■•+3r*) (.r, j = o, ±1, =fca, ±3, . . .) (a?-t- j impair) ou bien qu'on a

(^ étant ce que devient !^ par le changement de q en — q. Or, je trouve

p 2K3 .,,,, sina| / l\ îK\

J = — — k- k 3 — — - , a! — am— •> ou = atn ——

3 1/3 tc3 sina'ï Aa^ \ 1 3 /

d'où

(J, 2K3 , si 11 -y.:;

3 /3 tt

■ in a? A;:.,

Après quelques réductions on obtient

— = — — — sinaj cosa! sinar,.

C'est la même valeur que je trouve pour

J'ai calculé d'abord la somme

Z^yXx'1' — 3y2)ql'~ + 3y~ (toujours x-\-y impair)

qui s'exprime par

\ \\ /. - -in a.2 COS 3v/3ir3 sinai

Le changement de 7 en <y2 donne la valeur déjà écrite de

ir>

Pour a\ oir la somme j'ai pris comme point de dépari les sommations des séries

où j'ai remplacé y par q3, etc. Les fonctions de seconde espèce sont éliminées dans le résultat, mais elles entraînent bien des loni; 11 *mi rs dans le calcul qui. par là, a seulement le caractère d'une vérification. Mais, d'autre part, les démonstrations arithmétiques demandent aussi quelques développements. Le théorème III a été obtenu seulement en suivant la voie que je vous ai indiquée; je n'en ai pas encore une démonstration arithmétique comme des autres théorèmes.

Agréez, Monsieur, l'assurance des sentiments respectueux de votre serviteur dévoué.