HERMITE I STlf-LTJES

Paris, 5 mai 188',.

Monsieur,

Ne soyez pas fâché si, après avoir lu, avec toute l'attention dont je suis capable, votre dernière lettre, je viens de nouveau vous faire part de difficultés qui n'en sonl certainement pas. dans le fond, et que quelques développements feront évanouir. On sait, ditesvous, qu'en désignant par G (#) un polynôme en x du degré in — i .m plus, on peul poser :

I, f(x) G(x) dx = A./C.r, ) - \2/-(.r2 ,-.... A„/(.r„),

les quantités xi: x$ r„ riant comprises entre a et b. Je dois

vous avouer que celle propriété m'esl complètement inconnue, si inconnue que je ne \ois aucun moyen d'y parvenir et de l'établir. Je ne vois pas non plus pourquoi ayant trouvé, en supposant

{x — Xt <-. . .(./■ — .r„ |S

(X — Xf,)*

une valeur positive pour A/,, vous concluez immédiatement que pour tout autre polynôme celte constante sera la même, et, par cela seul, sûrement positive. En attendant que, par quelques mots il explications, vous dissipiez les ténèbres de mon esprit, permettezmoi de vous demander s'il vous conviendrait de donner aux A finales

(') Pendant le voyage annoncé à la fin de la Lettre 47.

de l'École normale supérieure, dont M. Tisserand esi le rédacleur en chef, un Mémoire étendu cl bien complet, sur celte question des quadratures qui a clé le sujet de vos dernières lettres ('). Aussitôt que je connaîtrai vos intentions, j'en ferai part à M. Tisserand qui sera, j'en suis certain d'avance, extrêmement satisfait d'offrir un Mémoire de vous à ses lecteurs. Mais, pour nombre d'entre eux, il est d'une absolue nécessité de ne supprimer, dans les développements, aucun intermédiaire; je me range, tout le premier, dans cette catégorie ; la peine à prendre et l'effort à faire pour combler les solutions de continuité que je trouve dans un travail, sont un motif suffisant pour me détourner d'en faire l'étude. La question de l'intégration par approximation est de la plus liante importance, et le point de vue auquel vous vous êtes placé en envisageant les fonctions intégrables d'après lliemann est entièrement neuf et intéressera vivement les géomètres. C'est donc une occasion, Monsieur, d'attacher votre nom à un sujet élémentaire et fondamental en Analyse; je n'ai pas besoin de vous dire combien je serais heureux de le faire connaître en exposant vos recherches à mes élèves de la Sorbonne.

En vous renouvelant, Monsieur, l'expression de ma plus haute estime et de mes sentiments bien dévoués.

Leydc, 7 mai 1884.

Monsieur,

Je suis bien fâché que mon travail vous ait causé tant d'ennui et je me hâte de vous donner les développements demandés.

Soit/^) une fonction donnée, qui ne devienne pas négative entre a et b. Il n'est pas exclus qu'elle devienne infinie ; seulement

J' f(x) dx doit avoir un sens.

( ' ) Ce travail a effectivement paru dans les Annales de l'École Normale supérieure : « Quelques recherches sur les quadralures dites mécaniques », 3e série, t. I, p. 409-426; 1884.

I08 CORRESPONDANCE d'HERMITE ET DE STIELTJES.

Problème. — Déterminer un polynôme

\(.r) = x'1 -4- aix"-1-^ a2x"-2^-. . .-- an d'un degré donné />. tel que

rb

f f(x)'S(x)xAdx = o

• ti

pOUr /, : O, I, 2 // — I •

Ces conditions donDent, pour déterminer les inconnues al; ,/. art) les équations linéaires suivantes :

j x" f( >■ l dx a, I x"~i f\ ./■ i dx

-+- a, I xn~i f(x)dx-+-. . .-+- an f /(x) dx — o,

f xn+i /(x) dx -4- at / xn f(x)dx

-4- «2 / xn~l f(x) dx -4-. . . — r/„ / ■rf(x) dx — o,

/ r;i+2 f(x)dx-±- ai f xn+lf(x)dx

I x" /(#) dx -+-...+ an f x-f(x)dx = o,

j x-n-lf{x) dx -4- <7, / .r2"--/i ./■ ) <■/./•

x-"--3/(x) dx -+- . . . -4- an f xn-l/(x) dx = o.

il J a

Le problème est donc déterminé en général et at, «2 #«

deviennenl il<js fonctions rationnelles dos in constantes

Jl ./■ f\ ./■ 1 dx 1 A = o. 1, 1, . . . , 1 n — 1). a

Mais, si, comme uous le supposons, la fonction f(x) ne change poinl de signe, on peul démontrer qu'aucune contradiction ou indétermination ne peut se présenter dans la solution du système (2),