IO
le délerminanl A étant, alors, certainement différent <le zéro. Iji effet, écrivons, dans les intégrales de la première Ligne, X\ an lien de x, dans celles de la seconde ligne, #2, etc., enfin (Lus celles de la dernière ligne, x„ an lieu de x ; le déterminant A peut alors se mettre sons la forme d'une intégrale n-uplc, ainsi :
on bien
xA x3 x3
dx\ dx2 . . . dxn
pb ~b „b
3) A= / / ... / f(xi)f(x2). . •f(Xii)x'%x\x\.. .x'/T1 n dxi dxt. . .dxn,
I Xi
I Xi
I xn
Xjt
La notation des variables étant indifférente, on peut, dans l'expression (3), permuter de toutes les manières (en nombre i.2.3.../i) les indices 1,2,..., n. Par ces permutations, II ne change point, ou change seulement de signe et, faisant la somme de toutes les équations que l'on obtient par ces permutations, on aura
4) 1.2. 3. ..!»&=/ I ... f f(xl)f(x2)...f(x,l)(Uy-dxidx2...dxn.
ce qui fait bien voir que, dans notre supposition concernant la fonction f(x), A est positif et différent de zéro.
Conclusion. — Le problème posé conduit à un polynôme N(#) parfaitement déterminé pour toute valeur de-n. Désignons ces polynômes pour n= 1, 2, 3, ... par N, (x), N2(#), N3(#), . . . . Les conditions (1) qui ont servi à déterminer N(#) font voir que
(5) f /(a?)N(a?)T„1(a7)<fo = o,
T„,(x) étant un polynôme de degré n — 1 au plus, d'ailleurs
HO CORRESPONIUNCE I) IIEHMITE ET DE STIELTJES.
tout à fait arbitraire. On a donc aussi
(6) I f(x)Nk(x)Nt(x)dx = o
lorsque les indices /.' et / sont inégaux. Proposition. — Les racines de l'équation
sonl réelles, inégales, comprises entre a et b.
En effet, désignons par x,, x2 r* toutes les racines réelles
de cette équation qui sont comprises entre a et b. Nécessaire-
iik'mi /, esl au moins égal à i, parce que N(#) doit changer de signe entre a el h à cause de
f f(x)N(x)dx = o \
Posons
P(x) ne change point de signe entre a et b. Or, si P(#) n'était pas simplement égal à l'unité, (x — xt)(x — x-2) . . .(.r — Xk) serait au |)lus du degré n — 1 et, d'après (5), on aurait
b f\ x i N(x)(x — a?i)( ./• — a?2). . .(x — ./■;, i dx = o,
ce qui est impossible, parce que la fonction sous le signe / ne change point de signe.
Toutes les racines sont donc comprises entre a elb. Mais aussi, il ne saurait y en avoir d!égales. En effet, supposons
N(a?) = (x— XiY Pur), P(#) sera du degré n — 2; par conséquent
f(x) N(.r 1 l'i ./■ \dx = 0,
ce qui est aussi impossible (de nouveau).
[pplication des résultats précédents à la quadrature mécanique. — Désignons par xt, x2, .... xn les racines de ]N(#) = o.
LETTRE 52. Ili
Soit 0(x) un polynôme de degré 2/1 — 1 au plus, d'ailleurs parfaitement arbitraire. En divisant G(x) par N(a;) on aura
(7) G(a7) = Q(*)N(#)-Ml(a7),
le quotient Q(~p) et le reste R(#) étant tous les deux de degré n — 1 au plus.
Nous aurons donc, d'après (5),
! J\x)G(x)dx = / f(x)R(x)dx.
J a va
Maintenant, R(a?) étant du degré n — 1 , on a identiquement, d'après la formule d'interpolation
(x — Xi ,1 N'(a?j) (x — xn) N\xn)
En posant donc
Aa ne dépendant donc en aucune façon du polynôme G(#), l'équation (8) devient
né
/(a?) G(a?) dx = AiR(>i) 4- A2R(a?2) -+-...-+- A„R(>ra),
mais, d'après (7),
R(x1) = G(xi), ...;
donc
Je crois qu'après ces développements tirés du Traité des fonctions sphériques de M. Heine, ma lettre précédente ne présentera plus d'obscurité. M. Heine ne nomme pas l'auteur de cette démonstration que N(x') = o a toutes ses racines réelles, inégales, comprises entre a et b. Je crois me rappeler (un peu confusément) que Legendre est l'auteur de cette démonstration extrêmement ingénieuse dans le cas f(x) = i, N(ar) = Xw. Mais j'aurai soin de m'en assurer (de m'assurer de cela).
J'ajoute encore la remarque suivante qui, certainement, n'est
pas nouvelle pour vous, seulemenl pour indiquer la liaison de ces recherches avec la Note que vous avez bien voulu présenter à l'Académie en octobre i883.
( Homme on a
i rb i cb
H / xf(x)dx / x-f(x)dx
les équations (2) expriment aussi que, dans le développement de
\ - / ± dx
suivanl les puissances descendantes de z, les termes en -3 — , •••, — manquent ('). N(s) esl donc le dénominateur de la réduite d'ordre n de la fraction continue
et 1 on a
N2=(s — a, 1N1 — XiN0>
N,= (* — a,)Nj— X,N,
L'équation
(a) Nk+X={z — xk) N*— XANA,
donne, en multiplianl par Nk(z)f(z)dz et intégrant de a à b, à cause de 1 6
f N*(*)Nj, «Ai
{z)f{z)dz
(') 7Vo<e rfe l'auteur. — C'est ainsi que M. Heine a posé le problème, Tome I, page 286, et qu'il arriva à ces équations (2).
d'où l'on voit immédiatement <|iic a/,- e^i compris entre a el l>. De même, en multipliant (a) pur Na-( (z)f(z) dz el intégrant de ak b, on trouvera, à cause de (6) cl de
sN&-i(.z) = N>fc(.z) -+- polynôme du degré k — i,
f Nk(z)Nk(z)f(z)dz (») ^=^f
N/,1(^)N/,1r^)yU)^
Donc X* est positif. J'avais démontré ces résultats d'une autre manière dans ma Note d'octobre 1 883 . Du reste, la fonction /'(-) étant donnée, ces équations (i i) et (12) donnent un moyen régulier pour déterminer de proche en proche toutes les constantes a, \ de la fraction continue
Xo
x — at — on a d'abord
*«= f /(*)<**, «0= f sf(x)ds= f f{z)dz.
Ayant trouvé a0, N{ (z) est connu, et les équations (11), (12 donnent a,, )H qui font connaître N2(-z), ....
La théorie de M. Heine n'étant peut-être pas connue généralement en France, il sera bon probablement d'en donner un aperçu comme celui plus haut, dans mon Travail, quoique ce qui me reste propre devienne (devient) de cette manière peu signifiant, en regard de ce que j'emprunte à M. Heine.
J'avais démontré, dans ma Note d'octobre 1 883, que la quadrature mécanique
AtGiO,) -+- A2 G,(a?, )+...+ A„G„(>„) donne avec une approximation indéfinie
f(x)G(x) dx,
G(#) étant continue et présentant un nombre fini de maxima et de minima. Et il est même facile de voir que cette dernière restriction est superflue et qu'il est suffisant que G(x) soit continue.
I 1 4 CORRESPONDANCE D'hERMITE ET DE STIELTJES.
Pour cela, il suffit de remarquer que G(x) étant continue, et s une quantité donnée aussi petite que l'on veut, il existe toujours une fonction continue F(#) qui ae présente qu'un nombre fini de maxima et minima, el tel que G(x) — F(.r) reste inférieure à e. | ( !e nombre fini de maxima ou minima de F(#) croît au delà de
toute limite avec - lorsque G(x) présente une infinité de maxima
ou minima. mai> cela est indifférent pour la question.]
Ce résultai d'octobre [883, que la quadrature est applicable à toute fonction continue, a été pour moi la raison principale qui m'a fait croire [avant que j'eusse (j'avais) trouvé une démonstration] à la vérité de la proposition fondamentale de ma lettre précédente, el qui m'a fait chercher avec un peu d'obstination à (d'en) en obtenir une démonstration.
Cette lettre, Monsieur, est devenue trop longue pour parler encore de mon premier Travail el des (sur les) racines de l'équation I y ;o et des transcendantes de Bessel....
Croyez-moi, avec les sentiments de profonde reconnaissance, votre très dévoué.
