HERMITE A STIELTJES

Paris, i5 mai 1884.

Monsieur,

\ otre lettre est parfaitement claire et explicite; elle m'a rappelé bien des choses dont le souvenir, s'il n'avait pas été en grande partic effacé, aurait arrêté les demandes d'explications que je vous ai faites. \ olis trouverez, dans les Exercices de Calcul intégral de Legendre et j'ai, moi-même, donné autrefois, dans le cours de

sec le année de l'École Polytechnique, la méthode si élégante et

ingénieuse par laquelle \otis démontrez que l'équation N(#) = o a ses racines toutes réelles et inégales. J'ai aussi donné dans mes leçons la théorie de Heine et de M. Tchevicheff du développement

rb fi x) en fraction continue de l'intégrale / dx et, si je ne me

trompe ces choses sont assez généralement connues pour que vous puissiez nous bornera rappeler les résultats en renvoyant le lecteur

au Handbuchde M. Heine. Je vous renouvelle L'expression de mon vif intérêt pour la question que \nu.sa\ez heureusement el habilement traitée de la quadrature mécanique, avec une approximation

indéfinie de l'intégrale / f(x)G(x)da;i lorsque G(.z) est con-

t i n tic, même en admettant un nombre infini de maxiina et de minima. Mais permettez-moi de vous demander de ne point laisser de côté les résultats si intéressants que vous avez découverts sur la valeur approchée des racines et des multiplicateurs dans la formule de Gauss. Je ne vois absolument pas par quelle voie vous êtes parvenu à établir une dépendance entre les racines de l'équation Xw = o et celles de la transcendante de Bessel, ni surtout comment vous obtenez la valeur approchée des racines de celle transcendante qui ont été l'objet des recherches de M. Boussinesq. Toutes ces découvertes portent lémoignagede la rare pénétration et de l'activité de votre esprit, et ce que vous voudrez bien en donner pour être publié dans les Annales de V Ecole Normale sera accueilli avec empressement. En attendant que vous reveniez à l'Arithmétique à laquelle, moi aussi, je ne puis consacrer le temps que je voudrais, à cause de mes devoirs, je prends la liberté de vous énoncer un petit résultat recueilli comme d'aventure. 11 concerne le nombre m des points dont les coordonnées sont des entiers et qui sont contenus à l'intérieur ou sur la circonférence de l'ellipse Ax'2 -h By2 = M. En posant

j'obtiens la formule

et l'on a

puis

4pq -+-4S + 4S1,

Il6 CORRESPONDANCE D'HERMITE ET DE STIELTJES.

On est ramené, dans le cas de A = B, à un théorème de Gauss donl j'ai trouvé l'énoncé dans le Tome II de ses œuvres complètes.

\\,.c la plus haute assurance de ma |>lu> liante estime el de mes sentiments bien dévoués.