fo

V^sin(*-I)(s

Soit t = (k — - j 7î une valeur approchée d'une racine de

J0(^) = o; alors j'ai supposé celle racine développée ;iinsi :

La substitution de celle expression dans celle de Jo(-z) écrite pluhaut donnera, en développant suivant les puissances de t.~', le moven de déterminer )M, X;î, . . .; je trouve

Ai — 5' a3- — — :

S * 3Sj • 3.5.217

donc

L'expression de M. Boussinesq

devient, par l'introduction de

ou bien

elle donne donc des valeurs trop fortes, comme l'a remarqué aussi M. Boussinesq.

On peut suivre la même méthode pour les racines de J< (z) = o

(calculées par M. de Saint-Venant) en posant t = ( k -+- - ) t.; je trouve

je n'ai pas calculé le terme en (avec) t~5. L'expression de M. Boussinesq

8zk= (4/1 -hi)Tc-f- \/(Jk -i-i)2tï2— 24 devient, par l'introduction de l,

I[8 CORRESPONDANCE DHERMITE ET DE STIELTJES.

ou bien

elle donne donc des valeurs trop faibles.

Mais voici qu'un ami, qui s'intéresse beaucoup (de) à la Pb/y- -i me mathématique 5 vientdem informer, un de ces derniers jours, que ma méthode n'est pas aouvelle.

lu. en eflfet, dans les Comptes rendus de l'Académie de Berlin >lii 26 avril j883 (p. 322), M. Kirchhoflf fait usage de l'expression suivante ( dans ma notation) :

1 o,i5iq82 o,oi53ç>9 o,a45835

i ,'/. 1 ,/. — 1 i( rx4Ar + i)«

ce qui n'est autre chose que la formule (2) mise en nombres et complétée par le terme en /-;. M. Kirchhoflf dit que c'est une formule due a M. Stokes, qu'il a empruntée au Theory of sound de M. Rayleigh, vol. I. p. 273. Peut-être M. Stokes ne l'a pas publiée ailleurs...: je n'ai point vu le livre de M. Rayleigh.

Je vous remercie beaucoup. Monsieur, pour votre jolie formule arithmétique; mais, pour le moment, il m'est interdit de faire de I' arithmétique.

C'est avec une profonde reconnaissance que je suis toujours votre bien dévoué.

P. S. — Dans le Tome L\ I du Journal de Borchardl, M. Lipschitz a donné une démonstration rigoureuse des développements semi-convergents de Hansen.