STIELTJES A HERMITE

Leyde, 27 juin 1884.

Monsieur,

Veuillez bien me pardonner d'avoir ajourné trop longtemps de vous remercier pour votre dernière lettre, ce que j'aurais du faire d'autant plus que je ne doute point que c'est surtout à l'intérêt que vous avez bien voulu montrer pour moi que je dois la distinction que le Sénat académique m'a accordée.

Je ne suis point en état de vous donner une réponse satisfaisante,

120 CORRESPONDANCE I) IIERM1TE ET DE STIELTJES.

concernant les racines deX«= o en parlant de

x«-i/„Tko™5[(»*Orj-i]-

J'avais seulement remarqué que, dans la valeur approchée de la racine qu'elle donne

( 4 k — i ) iï

Xfc = COS ■ — +- Z (/. = !.) // i.

î est de I <»nlre (de) — En tenant compte des termes en — -> on obtient la valeur |>]us approchée

Xk= I ; ; COS— -I- e\

I );nis celte expression, on a n- 1' = o pour /* =oo, e/? supposant

toutefois que le rapport —reste fini et différent de zéro ou de

l'unité. Mais je n'ai pas poussé plus loin les approximations; il semble que les termes suivants deviennent assez compliqués ; ils

. . . . ( i / ■ — n - ;/,,doivent contenir sm —; , cos — Je crois entrevoir que

tous ces termes deA iennent de l'ordre (de) — ; en posant k = i . 2

en sorte que la formule générale serait

F . i 2 ;; — i )A sin — j

F/» • • , i -, s i n ( 4 k — i ) t. étant une lonction rationnelle et entière en —

cos 4^—2

Peut-être je reviendrai encore sur ce sujet et, s'il m' arrive (à) d'obtenir quelque résultat net, j'en ferai un petit article.

En étudiant, autrefois, le Mémoire de Lagrange : Sur V usage des fractions continues dans le Calcul intégral {Œuvres, i. I\ . p. 3oi), j'avais remarqué qu'en appliquant la méthode de Lagrange à l'équation non linéaire

/ dy /o x PC* — Y)

^~x^dx ■+"Y^ + (P — °-^xy + ., xy-— y = °»

c est-à-dire en développant une solution particulière en fraction

continue, on esl amène' à La fraction continue que Gauss a donnée

pour

jf(g, p -+- 1, y -f- f , y)

^(«, P, Y,*) lin posant jk = - >

est donc une solution particulière de

dz S ( a — y )

el l'on trouve encore facilement cette autre solution

En me rappelant celte remarque, j'ai obtenu maintenant l'intégrale générale.

Guidé par les résultats obtenus par Lagrange, j'ai supposé que l'intégrale générale serait

k§ (a, p, y, g) + Bp(a-y)y«i(i-a, i — P, i — Y' x) A#(a, p-M, y-M, ^)-(-By(i— Y)"cf(i— a, — p, \ — -[,x)

avec la constante arbitraire A;B, en sorte qu'on obtient zt et Sa en posant B = o ou A = o, u étant une fonction de x qu'il faut encore déterminer.

Or, en posant

yt> = A^(a, P, y, a?) + Bp(a — ^)xu§(i — a, i — p, 2 — y, x),

g = A,7(a, p + i, y + i, x) ■+- By(i — y) » ^(l — a> — P. ' — Y> x)>

j'ai trouvé (') qu'en déterminant u par

/ . i du ON

c'est-à-dire en prenant

M = ar-Y(i — a?)Y-«-P,

(*) A l'aide des relations entre les formules contiguës de Gauss. (Arote de l'auteur.)

122 CORRESPONDANCE I) IIERMITE ET DE STIELTJES.

oll ,|

dp ', „ 3(T

dq T Y — «-g ,

il ou I on lire

qi\J dx J dxj x{l — ■x)li'/\ q) 9 T J

en sorte qu'on trouve, pour — = z} l'équation (i) dont l'intégrale générale est par conséquent

En remplaçant .r par- et prenant a = oo, on trouve

(2) •'',-—" sl ' — s) + ^^ — - X = O

dx ' y

avec

A'( y.. P,Y,-) +B^i-Te^fi-a, 1 - 3, 2 - y, -)

A-T ( a. 3-1,74-1.- +Br(i — Y)3r-Ye*^ ( 1 — a, — 6, i-

En remplaçant j; par — - » en prenant a = x. (3 = oo, on trouvé

encore

dx ' y

.i\ ec l'intégrale

A.^alpH-i,Y + i,4)+BY(i-Y)ar-T^(i-a, -3, 1 — Y»5) Enfin, remplaçons .z par-^ et prenons (3 = 00, <r/a? Y

(2a) ar-£ — y-(i — s) — a--

x ~ ( *, 3> Y. ? ) +B(a — y ) .r>-Tt" J (1 — x, . - 3, 2 — Y, % )

\ ■ I a, 3 + 1, Y-i-i, 0 ) -r By(i — y)ar-Ye*#(i — a, — p, 1 — y,

Mais ces équations ne diffèrenl pas réellement de (2) ci de (2') comme on le voit en changeant x en — x cl remarquant que

#(a, p, y, a?) = (i — a?)Y-«-P#("r — «, y — p, 7, x) donne

*(-,ftT.|)-W(— ,T-P,Ï,£)

pour TH = 00.

Veuillez bien agréer de nouveau, Monsieur, l'assurance de ma reconnaissance cl de nus sentiments bien dévoués.