II El! MITE A STIEETJES

Paris, 27 novembre 1884.

Monsieur,

Je viens vous remercier de la Communication extrêmement intéressante que vous m'avez faite de l'article que vous destinez aux Acta mathematica, et qui concerne la généralisation <\o> poly-

( l) Sur certains pohnonws qui vérifient une équation différentielle linéaire du second ordre et sur la théorie des fonctions de Lamé {Acta mathematica. t. VI, p. 32i-3aG; i8!S5).

nomes de Lamé, imaginée par M. Heine. Votre analyse qui esl si originale est, en même temps, parfaitement claire el je ne crois pas que jamais personne ail en L'idée de rattacher, comme \ons l'avez fait, à une considération d'équilibre la démonstration de la réalité et des propriétés des racines d'équations algébriques. Permettezmoi, Monsieur, de vous engager à insister toul particulièrement sur le cas le plus simple el qui esl aussi, jusqu'à présent, le plus i 111 portant, celui des polynômes même de I jamé. Si mes souvenirs soirt fidèles, il me semble que M. Klein sérail déjà parvenu aux résultats que vous avez découverts, dans un article remontant à cinq ou six ans, que contiennent les Mathematische Annalen. Mais, M. Klein n'aurait considéré que le seul cas des polynômes de Lamé, el sa méthode n'a rien de commun avec la vôtre. Je ne me suis point mis sous le même point de vue en m'occupanl de ces quantités; en prenant l'équation du second ordre sous la forme

dv — [(i-f- k*)x — i/c*x*]--jh -f-[n(rt -+-1) A:2a?2-t- l]jr = o,

j'ai surtout considéré les quatre polynômes en 7, P, Q, R, S qui déterminent, lorsqu'on les égale à zéro, les valeurs de cette constante auxquelles correspondent des solutions de l'équation différentielle qui sont des polynômes entiers ou bien des produits de polynômes entiers multipliés par \/ 1 — x2, y/i — k'2x'2, y/(i — x'2) (1 — k-x'1). En laissant indéterminée la constante /, ces diverses expressions sont des solutions de l'équation différentielle, avec un second membre de la forme

P, Q/i — ^2, Ry/i — Z'1^, S v/(i — ^2)(i — l^x-1)

ou ces mêmes quantités multipliées para?, suivant les cas.

En second lieu, et considérant toujours / comme un paramètre arbitraire, on a cette circonstance analytique bien remarquable qu'en développant^)' suivant les puissances descendantes de x, on a pour n pair cette expression

i 18 CORRESPONDANCE li'llEIOIITE ET DE STIELTJES.

|nii-. pour 11 impair,

I /• el l'i i ./■ ) sonl des polynômes de degré n el dans lesquels |r> coefficients x, %' (3, (3', . . . <l< :s séries infinies sonl fonctions entières de degrés croissants <». i. 2, .. . de /. Et de même

En résumé, c est moins aux solutions algébriques de I équation qu'à ces polynômes en /. I'. Q, I». S que je me suis attaché jusqu'ici.

Mais vous avez embrassé, dans vos dernières recherches, bien d'autres belles questions, la loi de la variation de la densité de I écorce terrestre i ' >. et, en dernier hou. une généralisation profonde de la théorie des quadratures mécaniques (2), dont je me lai> un plaisir de vous apprendre <[ue mon cher confrère .M. Tisserand m'a parlé avec les plus grands éloges. En vous exprimant. Monsieur, le désir et l'espérance qu'à votre prochain voyage vous voudrez bien venir chez nous, dîner en famille, pour que nous ayons ainsi l'occasion de causer de i<»ui ce qui nous intéresse, je vous renouvelle, avec l'expression de ma plus haute estime, celle de mes sentiments de bien sincère affection.

(') Les travaux île Stieltjes sur l;i loi de la variation de la densité de la Terre "ni été publiés dans trois Notes :

r Note sur la densité de la Terre {Bulletin astronom., t. I, p. ^i5 ; 188^); Quelques remarques sur la variation de la densité dans l'intérieur de la Terre (Arch. néerland., t. XIX, p. 435-46o; i884);

Réimpression du travail précédent dans le Tome I, 3esérie, p. 272-297;. i885, des Vei slagen en Medeelingen der koninklijke Akademie van Wetenschappen te . Imsterdam.

('-) Le travail auquel M. Ilerinile fait allusion a paru dans le Tome XCIV des Comptes rendus, p. 85o, 17 nov. 1884, 50US le titre: Sur une généralisation de la théorie des quadratures mécaniques.

LETTRE G(). I 3g