STIELTJES 1 HERMITE

Leyde, 1 1 mars i885.

Monsi 1.1 i;.

Je me permets de vous communiquer le théorème suivant auquel je suis arrivé par un chemin bien détourné. Si je ne tne trompe, il esl de nature à vous intéresser. Je le crois susceptible il une grande généralisation.

Soienl sel s' deux variables complexes

Pour des modules suffisamment petits de A et /. . les équations

admettent une solution ; = «, z' = v, voisine de ; =: a, z' = b. Cela posé, je considère l'intégrale double

le chemin d intégration relatii à c étant un contour fermé enveloppant z = a, parcouru dans le sens direct; de même celui relatif à s' un contour fermé enveloppant z'=b. Alors la valeur de l'intégrale est

(B) fai»j' - JitttlK

dz c/z' dz' ôz / z — „

Il me semble extrêmement probable qu'il existe un théorème analogue pour une forme moins particulière des fondions -~ et -", el comprenant le cas où (que) les chemins d'intégration renferment plusieurs solutions du système i : mais, pour le moment, je ne me hasarderai point à celle généralisation qui devra présenter encore des circonstances singulières dont je me contente de signaler l'origine. En effet, l'expression (A) ne change pas en permutantles deux fonctions #et .", tandis que l'expression (B) change de signe.

Mais M. Kronecker, dans son Mémoire Ueber Système vonFunctionen mehrer l ariabeln (Monalsberichte der Kônigl.Akad.d. Wissensch. 1869), a déjà introduit des considérations qui s'appliqueronl probablement avec certaines modifications dans le cas actuel.

\ oici, maintenant, commenl je suis arrivé à ce théorème.

On a

JJ ${MtM')$t{M,J) JJ «' ^M*

ou bien, d'après les formules de Cauchy,

. 2YV h"1 kn d'"+"(J(a, b)'i>»(a, b)$"(a, l> )

'■7Zl> Z-,ZL,7~2 ~, ~ 7, ~ (la,n rlfjn

or, Ja série

AmàAmi \ . > . . . /)) ].>.... /l

/»" dm+n Ç(a, b ) <p »»( a . b ) <b» (a. b

damdbn

est égale à

Cj(u, v):

1 de?\ ( 1 ^ X-htz)V-kdï>

dt' dz~

d'après une généralisation de la série de Lagrange donnée par M. Darboux (Comptes rendus, t. LXVIII). J'ai envoyé dernièrement une démonstration de celle formule à M. Tisserand ('), en la généralisant en même temps pour un nombre quelconque <le

variables. Aussi, le théorème ('nonce peut être énoncé de cette manière.

L'intérêt qui me semble s'attacher à cette généralisation du théorème de Cauchy m'a déterminé à vous la communiquer. Certainement, si je ne me suis pas trompé, le théorème en question doit être démontré d'une manière plus directe et moins particulière, quant à la forme des fonctions § et «•?, . Mais je suis, en ce moment, trop occupé pour songer sur cela. Je ne nie pas, cependant, que j'aurais Lien volontiers votre opinion et celle de M. Picard (sur

(') Cette généralisation de la série de Lagrange a été publiée dans les Annales de l'Ecole Normale supérieure, 3e série, t. II, p. g3-g8; i885.

,',', CORRESPONDANCE D BERMITE KT DE STIELTJKS.

i ela) à ce sujet. ^ a-t-il, après m ml. une erreur, dans le raisonnement? je ne vois pas (').

\ otre bien dévoué.