STIELTJES A HERMITE

Leyde, i3 mars 18SÔ.

Moi

Quoique pressé par des calculs numériques, je n'ai pu résister au désir de songer sur les intégrales

(|'i s. z'tchdz'

• ■ x < i i ( '■ surtout par le paradoxe apparent dont j'ai parlé dans ma dernière lettre. Pour en savoir la cause, j ai envisagé directement des contours infiniment petits autour d'un système //. v

§{u, v) = o, ài(u, v) = o.

Soil s = u + t , z'=v -\-t'> et négligeant des quantités d'ordres su périeurs,

(J ( u -4- t, V — t') = Ç(u, v), § 1 // -t- t, v ■+- 1) = at -t- bt', $1(11 — /. r — t') = et -+- (//'.

Dans les intégrations, les modules infiniment petits de t et /' restenl constants. Il faut distinguer quatre cas :

\ \at\ '•' '■ ■>• . 1 . . / -, l)("- '"' il) < 1 intégrale est eiiale a (■2-1)'2 ^-= ; — ,

i \ct |< \dt'\ K } ad-bc

[ J at |< | bt' |

II 1 l'intégrale est égale à zéro,

\\ct\<\ df | ,

III < I intégrale est égale a zei 0,

( \ct 1 > I '7/'

l\ l l intégrale est égale a (2irf)2-r ,•

I et dt' - 6c - ad

(') M. Poincaré, dans son Mémoire sur les résidas des intégrales doubles Icta mathematica, t. IX), a montré (§5, p. 357) l'origine de la contradiction du résultat de Stieltjes.

LETTRE GO. l45

11 faudra certainement trouver une interprétation naturelle de la différence <|ni existe cuire I cl IV. Je n'ai qu'une idée imparfaite de la méthode qu'il faudrait suivre pour arriver à une théorie complète de ces intégrales.

Naturellement, pour que l'intégrale ail un sens, les chemins

d'intégration ne peuvent être choisis tout à fait arbitraires, coi e

dans le cas d'une seule variable.

Je remarque que, lorsque la théorie de ces intégrales sera c -

plète, on en déduira la formule de M. Darboux :

^ — a — h o( z, z' ) = o, -' b — kty(z,z') = 0,

« , 'V'V ll"1 ^" dm+n§ (a, b) o"l(a, b) <b'l(/t. I> |

&{z,z). = 2, 2-, . n »-,,.. t, ~ da»ldb'1

précisément comme vous ave/, déduit la formule de Lagrange du théorème de Cauchy. Et de même pour un plus grand nombre de variables. Gomme vous voyez, j'ai suivi un chemin inverse, en adoptant la formule de M. Darboux. J'ai été amené, grâce à voire méthode de démonstration de la série de Lagrange, à la considération

de ces intégrales :

Ç(z, z')dzdz

§(Z, Z)Jy(Z,z')

Aussi, si je n'avais eu connaissance de cette démonstration si simple exposée dans votre Cours professé à la Sorbonne, sans aucun doute je n'aurais jamais été conduit à la considération de ces intégrales. Mais je dois borner ici mes recherches. Initié à la théorie de Cauchy principalement par votre Cours, j'en suis un admirateur plutôt qu'un cultivateur, et (je dois) restreindre mes efforts aux applications des mathématiques aux phénomènes naturels.

Comme vous le voyez, la remarque accidentelle que j'ai faite 1 aurait pu être depuis bien longtemps.

Votre élève bien dévoué.

I ',ti CORRESPONDANCE D'hERMITE ET DE STIELTJES.