STIELTJES I HERMITE

Leyde, io novembre 1882.

Je vous mh> très reconnaissant pour La manière trop bienveillante avec laquelle vous avez bien voulu prendre connaissance de ma lettre précédente, el de l'envoi de vos opuscules, qui sonl pour moi d'un pris inestimable. Je ne peux que vous exprimer mon

chagrin que, pour le moment, mon peu de loisir ne permettra

pas < I < - les étudier comme je voudrais les étudier, car je suis très convaincu de l'importance fondamentale de ces belles recherches qui pénètrenl >i profondémenl dans la théorie générale des fonctions.

J'aurais certainemenl fail communication de mes résultats à M. Tisserand, mais je savais qu'il est allé observer le passage de \ (''[111--.

Je hasarde encore à vous envoyer avec cette lettre une petite Noir 1 ' 1 sur un sujet bien élémentaire qui aura besoin de toute votre indulgence. Étant écrite en hollandais, je veux en exposer l'esprit en quelques lignes.

\ 1 > 1 1 > avez fait connaître, dans le Tome Si du Journal de Borchardt (2), l'expression analytique du reste de la formule d'interpolation de Lagrange. J'avais pensé qu'il serait possible d'arriver d'une manière élémentaire à une expression de ce reste, analogue à celle de la formule de Taylor, donnée par Lagrange. \ oici comme j \ arrn e :

Si la fonction Q[ z | s'annule pour c- - x el z ./•, i x x{ . mi aura

Si maintenant Q{z) s'annule encore pour z = x.>>xt, on

aura <le même

Li Mémoire de Stieltjes a p ■ titre : Over Lagrange' s interpolatie-formule

1 Verslagen en Mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen !<• Imsterdam, ■ série, 1. X.VII, p. i3g r>\: iv~

Le M moire d'Hermile esl intitulé : Sur la formule d'interpolation de Lagrange (Extrait d'une lettre de M. Ch. H ermite à M. Borchardt).

Donc

En général, si ()'(r. ) s'annule pour 5 = x, xl} x-2, ■ ■ -, xn yx <C x 1 <d •£;> • • • <C ^« J)

à la condition que, pour toutes les valeurs de z entremet xn, les fondions (/'(s), Çff(z), • ■■- ()'("1)(^) soienl finies el continues, et que, pour les mêmes valeurs de s, [\'"~l)(z-) admette une dérivée $ln)(z).

Soit maintenant # (^)le polynôme de Lagrange, qui pour a: = x{ , x2, • • -, x„ prend des valeurs /Y .-e, ), f(x2), . . ., f(xn), et posons

f(x)=3<(x)-h(x — .rl)(.r — T2)...(x — xn ) \\ ;

comme il s'agit d'obtenir une expression simple de /(x) — -"ï(.r'). nous pouvons supposera différent de xt, x2, • ■ •■>Xn, etalors la valeurde II est parfaitement déterminée par l'expression précédente. Si l'on envisage maintenant la fonction

Ç( z ) = /(*)+ #( z H-(s — ay, I {z — :r,).. .(z — x,,) H.

il est évident qu'on a

(](x)=o, (j(.ri)=o, ..., (,'(.<•„ 1 = 0,

donc

où 7) a une valeur entre la plus grande et la plus petite des quantités x, xt, . . ., xn. Mais $(z) étant au plus du degré n — 1. on a

G<"'(-s ) = — /("' ( s)+ 1 . -2.3 . . . n R, donc

Il est facile d'étendre ce raisonnement au cas que plusieurs des quantités x{, . . ., xn sont égales. La forme du reste, ainsi obtenue, est aussi une conséquence immédiate de la belle formule que vous avez fait connaître.

C'est avec le plus profond respect, Monsieur, que je signe votre très reconnaissant.