STIELTJES A HERMITE

Monsieur,

Je ne crois pouvoir mieux répondre à votre lettre qu'en vous envoyant une démonstration <le ma série - +C — C|S-K • • qui me semble à l'abri de toute objection ( ' ).

L'idée de considérer Ç(.s + î) comme définie par

h — rr;-*-----1 — rzr H ; O = 0°),

îi+s ni+i sns

est bien naturellement indiquée par la forme des coefficients C.

Toutefois, ce n'est pas ainsi que j'ai trouvé d'abord ces coefficients. Mais on peut aussi, avec certaines précautions, obtenir le développement de cette façon et détruire tous les doutes. L'équation dont je fais usage,

Ç(*-H) = - -4- — — f l-p- -\xse-*dx

' s ll(s)JQ \ex—i x)

est valable pour partie réelle de s >> — i , et étend ainsi déjà la définition originelle (originale).

Mais on a

ex — i x 2 1.2 1.2.3.4

et l'on peut écrire ainsi :

;(S HI)=I HI H * Ç'l-f- l--L)xse-xd3C (PR*>—0,

s 2 IK*)J0 \ex — i x 2/

l ( s ■+■ I ) = 1 1 — (5-Hl)

/— I — I - ll.*W«<<fc (PRs>-4),

\ ex — 1 x 2 1.2/

-— i -a; -\ -^- x3 ) x* e~x dx (PRs>— G),

ex — 1 x 2 1.2 2.3..

(!) FoiV à la fin de cette lettre.

I I ' COKRESPO.NDANCE 1) I1EIIMITE ET DE STIELTJES.

i ; U(s) étant holomorphe dans tout le plan, on reconnaît aussi, en

procédant ainsi, !<■ caractère analytiq le la fonction Z (').

J'avais cru, un moment, que ce procédé ne différerai 1 pas au fond de votre méthode; mais cela ne me semble pas vrai et, lundis que votre méthode donne aussitôt les valeurs de ^(o), Ç(— i >, Ç(- — ••'•)..., les expressions précédentes donnent

et ce n'est qu'après avoir profité de ces relations

Jii

qu'on trouve les valeurs définitives.

Ces relations (A), du reste, découlent de

ex =

Cette fonction Ç présente pour moi encore bien des difficultés; par exemple, jusqu'à présent, je ne vois aucun moyen sûr d'évaluer

(') Dans ces formules, II (s) désigne, suivant les notations de Gauss, la fonction eulérienne r(s + i), et PRs la partie réelle de la variable imaginaire s.

à peu près l'ordre de grandeur de C* lorsque /. rsi grand. Je penche un peu pour croire que les C* eux-mêmes (sans être divisés pai 1.2. . .A") diminuent rapidement; mais je ne vois pas clair el peux me tromper.

Je vous remercie encore d'avance, Monsieur, pour ht rédaction <!<•

votre démonstration de Ç(z + i) = — h Ç(z) el suis avec le plus

profond respect votre serviteur bien dévoué.

Développement de (j(.s-h-i).

Je pars de la relation

Ci ( S -+- I ) = 77—— / dx,

que j'écris d'abord sous la forme

G(s-hi)= - -+- — ï— / ( — l— — l—)&dx.

J s n<>)J0 Ve-1 — i x )

ce qui met en évidence déjà que

Çj(s-l-i) = G . (pour s = o),

C étant la constante bien connue d'Euler.

En développant l'intégrale suivant les puissances de s, il vient

OÙ

«.asjf"(ïJ-Çl)(logar)-<fe.

Je vais calculer maintenant la valeur de an. Pour cela, je rappelle que

Ll(s)= / x^e~xdx, d'où, en différentiant « fois,

n<">(o)= / (loga?)" e~xdx = k l (logx -¥-logk)nerkx dx,

(2) / (loga?-t- \ogk)ne-kx dx = -^Tl"(o) (A>o).

I , j CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.

En posant, pour abréger, log.r -j- log/. = T, on aura

f (log.r )" e~kx dx = J ( T — logÀ)" e~kx dx,

et développant la formule du binôme, on trouve, à l'aide de (2),

(3) / (\o%x)ne-kxdx

Kn prenant successivement /. : = 1, 2, 3, . . ., /•, et faisant l'addition

/»(/>-on<t i)|nirnoir2^ , (iog3)' ,, (iog/-)2i

Le premier membre peut se mettre sous la forme

- (log.r)" dx

fx ç—.i g— r—\\c

-t- 1 (logx)'1 dx

— f ( ! ) e-iw-»>*(loffa?)« dx.

J0 \i-e-* xj

La première intégrale est précisément an, la troisième tend évidemment vers zéro; quant à la seconde, en la désignant par/(/*), il vient

f'(r)— f e-{r+i)x(\ogx)" dx c'est-à-dire, d'après (3),

/'(r) = — n«(o) - * n*-i(oj log(r + °

+ n<n~^ nc-«(o) [l0^/, + l)]2 -. . .,

donc, /(/') s'évanouissant avec /•,

/(/•) = n»(o)log(r-Hi)- "iI-Ho)^

ni ii — i )

Il vienl donc

II«-*(o)

riog(/--Hi)3»

a»- f (,'g-r ~ 5) «-'"-"'(logar)» r/.r

= n»(o)[j + ^ -+-...+ i-iog(#- h- i)J

n«-'(o) -rJ-H-...+ 5__-[log(r+i)]«

(log/-)2 I

ï[log(r + i)]«

et, pour r— co, en posant

G =-■+--■+■...+ - — log(/--+-i) (7' = 00),

c (Iog^+ +(logr)* t

(/• = oc, A- = i, 2, 3, ...),

«„=n«(o)G— -n«-i(o)Ci-+- "(n~l)n«-s(o)C2...

Cette valeur de an montre bien que la série

a ■■> . a„ «o-t- aiH 55 + . . .H

est le produit des deux séries

D(o) + nd)(o)H — —s'--

et

C — Cjs-t-— s2— ...±

Or la première série étant le développement de n(^), l'équation (i) donne

C(s-hi)= --h G- G,s-f- — s2 ^rS3 + ....