STIELTJES I HERMITE

Paris, >8 juin i885.

M on si 11 R3

En réfléchissant sur cette question de la continuation analytique de fonctions définies par des intégrales définies dans une partie du plan seulementj j'ai fail cette observation bien simple que

r(a)= / x*-* {er*-i + x-—±...± x ^ n)dx,

tant que La partie réelle de a reste comprise entre — n et — (n — i). \ l'aide de cette remarque, on trouve facilemenl que la continuation anal \ tique de

f* r. ' — ' ri 7' Wt1 «<pr«)

(••>i donnée par les formules <p(a)= f X*-* (eJ i ~^)dx (o<PRa<il

<t>(a)=f .r«-» f—r1 --h- -a?) (- 3 < PR« < — i

*(«)=/ .r'-1 ( — — — - — '-^h 4— jxAdx (— 5<PR«< — 3

Ces formules sont d'un caractère bien différent de celles que je vous ai d abord communiquées.

Comme (une) autre application, j'ai considéré la fonction

xa~x dx

définie d'abord pour o <^ PRa <C i seulement. L équation

/(«) — r(a)=y i«-i|^- e~*j«te

LETTKK 77. I.')-

donnc déjà la continuation de /(a) dans la bande trois lois |>| u>

large

— 2< PR« <-t-r,

et l'on voil que, dans celle ha m le, f(a) a deux pôles, savoir a = o et a = -+- 1 avec les résidus + i ci — i . Or, nous avons vu que

T(a)=f x«-i(e-x—\)dx (— i< PRa < o). «/o Donc

c'est-à-dire

Cette relation, démontrée d'abord seulemenl pour les valeurs «le n dont la partie réelle est comprise entre — i et o, peut s'étendre ensuite à loul le plan.

Ce raisonnement bien simple, qui suppose toutefois la notion de la fonction T, a donné ainsi les propriétés les pins caractéristiques de la fonction f(a) et l'on peut déjà conclure que

/(«)sin«- et /(«) :

sont holomorphes dans tout le plan. On sait bien que

J ' sina -

J'espère, Monsieur, que vous voudrez bien recevoir avec votre bienveillance habituelle ces remarques qui sont, je le reconnais bien, d'une simplicité peut-être trop grande.

^ euillez bien agréer, Monsieur, l'expression de mon profond respect et de mes sentiments tout dévoués.