STŒLTJES A HERMITE

Monsieur,

En continuant à creuser dans la nature de la fonction 'Cj :■), je vois enfin la route ouverte pour arriver à tous les résultats annoncés par Riemann. Cependant j'ai dû prendre un chemin bien différenl que lui n'a indiqué, et le passage où il dit avoir obtenu le nombre

1 58 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DK STIELTJES.

approché des racines de 2; t) o à l'aide de l'intégrale / <YlngH(/) me reste absolument incompréhensible; je ne vois aucun moyen pour évaluer cette intégrale. J'ai été pourtanl assez heureux (à) pour éviter cel écueil en démontranl celle propriété annoncée ci nu me très probable par Riemann, que toutes les racines deÇl t) — o sont réelles. Par là. la question esl ramenée à La discussion d'une fonction réelle pour des valeurs réelles de la variable et cela esl faisable, du moins, el j'ai fait assez dans celte direction pourêtre sûr d'atteindre mon but.

Mais toutes ces recherches demanderont encore beaucoup de temps; je dois, en outre, vérifier mes calculs des constantes <-,-

( ], ( '. , el je me propose <l \ joindre les valeurs des coefficients

D* = (loga)* + (log3)*+...+ [log(/i — i )]*-+- -(logn)*— / (log «)* dn

( k — i, a, 3, ...) D, = -log(2ir) — i .

Gomme je ne puis pas pousser, en ce moment, activement ce travail ,i cause d'autres devoirs, je me propose de prendre an peu haleine el de laisser tout cela pendant quelques mois. Mais il n'y aura pas d'inconvénient, je l'espère, à publier dan- les Comptes rendus la Note ci-jointe qui, ce me semble, doil intéresser les géomètres qui ont étudié le Mémoire de Riemann. La fonction Ç(-s) est intimement liée a bien de- recherches arithmétiques sur certaines lois asymptotiques relatives à la suite des nombres premiers, etc. Par exemple, quoique je ue I aie pas démontrée encore d une manière rigoureuse, je n'ai aucun don le sur l'exactitude de cette proposition que *\> ' ./• — log log x converge pour x = oo vers une limite finie dont l'expression est un peu compliquée, Q>(x) indiquant la somme -••• relative a tous les nombres premiers mle-

rieurs à ./■ . M. Halphen, du reste, dans les Comptes rendus du

à mars [883, a indiqué l'intervention de la fonction Ç(s) dans ces questions.

Je m'estime heureux qu en vous demandant de me rendre léser-

LETTRE 78. [5g

\ [ce de (aire insérer dans les Comptes rendus la Noie ci-jointe ( ' ), je pourrai maintenant moi-même corriger les épreuves, quoique naturellement, j'accepterai avec reconnaissance les corrections dans le langage <|ui pourraient vous sembler nécessaires dans le cas que nous parcourrez ma Noie

Je suis avec un profond respect, Monsieur, votre bien dévoué.