STIELTJES A HE R MI TE

Paris, septembre i885.

Monsieur,

Je suis parvenu à étendre aux séries de Dirichlet la relation donnée par Riemann entre Ç(s) et Ç(i — s). Je compte donner dans ma thèse l'exposé complet de ces recherches avec les développements qu'elles comportent. L'intérêt que vous avez bien voulu

CORRESPONDANCE D'BERMITE ET DE STIF.LTJES.

montrer à ces recherches me fail espérer que vous ae serez pas mécontent d'en voir ici un échantillon.

Soit p un nombre impair sans facteur carré

(-] étant Le symbole généralisé <lc Legendre; // parcourant les

nombres entiers inférieurs <i premiers à /'. .!<• désigne encore par i y) la série infinie

Je développe suivant la (miss, mec de x l'expression

J'obtiens ce développement en décomposant en fractions simples — ; en écrivant ensuite ë~x au lieu de ./•. développant ensuite

en fractions les expressions de la forme el développanl

enfin suivant les puissances de x. Je trouve ainsi ces formules

= -ï-t- B> ( 1 ) — tD(4) £-— -+- o(6 .1 L—. r — ©I 8) i-77-7 • • •

(/j = 1, mod 1 1,

. . ) -•— - 7= Le 0(1) — o ( 3 > Hr— -f- ©1 5 1 ' — r — © (7) -—7 - *

(/> = 3, mod 4 1.

Dans ces formules, \p doit être pris positivement. D'autre part.il esl évident que les coefficients doivent être des nombres rationnel-. En égalant les valeurs indiquées ci-dessus avec ees valeurs rationnelles, on obtient des formules qui me semblent devoir être mises à côté de celles-ci, connues depuis si longtemps,

LETTRE SV. i ; !

et qui découlent de développements analogues, mais élémentaires. ( les coefficients ont d'ailleurs un caractère arithmétique prononcé,

dans la formule (2) par exemple. — <p(i) a un rapport très simple

a\ ec le nombre des classes de déterminant - />.

Ces l'on mi les (1) et (2) conduisent aussitôt aux valeurs des inté grales définies suivantes :

fX ■ Plr f(e~x) , " fie-*) ( 3 ) /sin - dx = -7= ■*- -, 10 2 1 . mod .

r* ptx f(e-<*) , TC f(e~*)

(4) / cos^- ^- '-dx=-j=± —L (p = 3, mod 4).

J air \ — e-t,x \/ p i—e-P* r

En effet, on n'a qu'à développer suivant les puissances de / et intégrer alors à laide de la formule;

' x*-l+ -dx = T(s)m(s)

qu'on trouve aussitôt à l'aide de— —= I xs'ie~xdx.

De cette manière, les formules (3) et (4) sont démontrées en supposant modt<Z — » mais on voit facilement, ensuite, qu'elles restent vraies pour t = a . -f- bi à la seule condition que la valeur

absolue de b reste inférieure à — •

En multipliant, maintenant, ces formules (3) et (4) par

ts~ldt (o<s<i),

intégrant de o à 00, renversant dans le premier membre l'ordre des intégrations, et faisant usage de ces formules

ts~* sin m x dx = — - — si a — ■

ts~~l cos mx dx = cos —

ms 2

on obtient la relation entre cp(s ) et cp(i — s), qu'on peut exprimer

en disant que

( — ) 1' - ■; .> ( lorsque p = i . mod j

' \ 'Y (-— ) o s p 3. mod i

ne change pas en remplaçanl s par i — s.

Ensuivant la voie que vous avez indiquée pour la fonction Ç (s), |,i formule (5 l permet de reconnaître que f(s) est une fonction holomorphe dans toul le plan, el 1 on peul alors étendre à tout le plan cette relation qui Lie f(s) à çpi i — s). Cette propriété de cp(s) donne lieu à la remarque .suivante :

( '. ni' on a

( - = / ./' e P tir.

/ - ■ — r- ' — ô — / rx '~' " ~ r

( — ) = / ./■ - ne P il r.

il ^ ienl . eu posant

[ § r . — \ ( — ) e P ( p = i, mod .i .

/ (,J( .?■ i — 7 i ' - | ne P (p = 3, mk ni j .