I -" | "I' | - ) ipi s / ./-^ 1 3(x)dx

| - | : r (/'^- I e I -v ) = / x~ £l -r | dx.

Les intégrales qui figurent aux seconds membres ne doivent doue pas changer en remplaçant s par i — s.

L'analogie avec quelques autres formules du même genre donne le plus haut degré de probabilité à ce que cette propriété se manifestera analytiquement par les relations

En admettanl ces relations, on trouve

Jf ./ ' rT i x 1 dx ! ' x- -+■ x 2 j - ofo ,

/ r"*- Ç(x xir r I \x~*-\-x *~)Ç(x)dx,

ce qui montre bien l'invariabilité pour le changement de .y en 1 —.s.

Mais la démonstration de ces relations singulières (7) doit dépendre certainement d'autres considérations. D'après ce <pii précède, cette démonstration fournirai I une seconde méthode pour établir la relation entre o(s) et cp(i — s).

J'ajoute qu'il ne me reste pins le moindre doute sur l'exact itudr de ces relations (7); numériquement, je les ai trouvées exactes pour/) = 3, 5, 7, il et l3; mais pour p = 3, 5, j'ai une démonstration.

Mais je n'ai pas encore abordé le problème de démontrer ces relations pour une valeur quelconque de p. C'est une étude qu'il me reste à faire. J'ai supposé, dans ce qui précède, p impair, sans facteur carré, mais il y a des formules analogues dans les autres cas. Je dois réunir tout cela dans ma thèse. Je désirerais vivement de pouvoir y insérer la démonstration de (7), mais je ne sais si je serai assez heureux.

Ce sont là les choses dont j'ai cru pouvoir vous parler sans vous ennuyer. Ces formules (1) et (2) m'ont donné quelque plaisir, parce que leur établissement a levé les dernières difficultés qui me haïraient le chemin.

Je suis, avec les sentiments les plus respectueux, Monsieur, votre très dévoué et reconnaissant.