STIELTJES A HERMITE

Paris, i5 septembre 1 885 .

MoNSIEUH,

Je dois vous remercier beaucoup de votre dernière lettre el je ne vous cache pas que je verrais avec plaisir que la Faculté choisit pour sujet de ma thèse orale l'exposition des récentes recherches sur la théorie de la figure de la Terre, auxquelles M. Tisserand a donné l'impulsion. Un autre sujet auquel j'avais pensé, c'élail l'exposition de la démonstration, due à M. Poinçaré, de l'existence d'une figure annulaire d'équilibre d'une masse fluide en rotation uniforme, énoncé par MM. Thomson et Tait. Mais je crois y devoir renoncer. Je suis trop accablé en ce moment et cela me donnerait encore trop de travail.

Quant à ces propriétés de 5r(^r) et (/(.r), j'avais reconnu de mon côté qu'elles découlent presque immédiatement des propriétés fondamentales delà fonction 0 et des formules de Gauss, en sorte que votre prévision est réalisée complètement. En effet, sous la condition au = tï, on a

(1) \J a (1 -+- xe~a" cos-iax h- 2e-4"' cos4«^ -+-...)

et pour 5 = i,2,...,/> — 1

(') 2(c) cos^P = (?) ^P (/> = *> mod4>,

(3) 2 (p) sin ^/F = (p) ^ {p ~ 3' mod 4 )-

Soit/? = 1, mod4, posons dans la formule (1)

sjt sb X ~ "P ~ P

j-S CORRESPONDANCE d'HERMITB ET DE .STIELTJES.

fi multiplions par ( - )« En sommant sur les valeurs s = i . ■>.. p — i . le premier membre devient, à cause de i 2 .

Quanl au second membre, le tenue e '' donne naissance aux termes

et le terme e" ' ' aux termes

à cause de [ — ) = (— — )> ce son! les mêmes termes qui figurent