STIELTJES A H ERMITE

Leyde, lo novembre

Je VOUS suis 1res reconnaissant pour la manière trop bienveillante avec laquelle vous avez bien voulu prendre connaissance de ma lettre précédente, et de l'envoi de vos opuscules, qui sont pour moi d'un prix: inestimable. Je ne peux que vous exprimer mon chagrin que, pour le moment, mon peu de loisir ne me permettra pas de les étudier comme je voudrais les étudier, car je suis très convaincu de l'importance fondamentale de ces belles recherches qui pénètrent si profondément dans la théorie générale des fonctions.

J'aurais certainement fait communication de mes l'ésultats à M. Tisserand, mais je savais qu'il est allé observer le passage de Vénus.

Je hasarde encore à vous envoyer avec cette lettre une petite Note (') sur un sujet bien élémentaire qui aura besoin de toute votre indulgence. Étant écrite en hollandais, je veux en exposer l'esprit en quelques lignes.

Vous avez fait connaître, dans le Tome 8-4 du Journal de Bovchardt ('-), l'expression analytique du reste de la formule d'interpolation de Lagrange. J'avais pensé qu'il serait possible d'arriver d'une manière élémentaire à une expression de ce reste, analogue à celle de la formule de Taylor, donnée par Lagrange. V'^oici comme j'y arrive :

Si la fonction (j'(2) s'annule pour :; ^= .r et^ = .r, (^<<^',), on aura

Si maintenant (j(-:;) s'annule encore pour 3 = j^.j >> ji-, , on aura de même

( ' ) Le Mémoire de SLielljes a pour litre : Ovev Lagrange's Interpol atie- for mule ( Verslagen en Mecledecliiigen der Koninklijke Akadcmie van Wetenschappen te Amsterdam, 1" série, t. XVII, p. 289-254; 1882).

(-) Le Mémoire d'Hermile est intitulé : 5m/' la formule d'interpolation de Lagrange (Extrait d'une lettre de M. Cli. Ilermile à ^L Borcliardt).

LETTRE 2. à

Donc

En général, si ()'(:;) s'annule ])our z = x, x^, Xo, . • -, -Xu \ X <C, X \ <i^ X-^ . . . <C X/i j ,

à la condition que, pour toutes les valeurs de z entre x et .r«, les fonctions Çî'{z), Çj"{z), • •-, G^"~*H^) soient finies et continues, et que, pour les mêmes valeurs de z, ()''"~''(^) admette une dérivée ^J^"\z).

Soitmaintenant^(:r)le polynôme de Lagrange, qui pourx = Xf , x-2j . . ., x,i prend des valeurs/(,r, ), /(xo), • • -, f{x,i), et posons

f(x)= :j'{x)-{-(.v — Xi){x — x,). ..{x — Xa)K;

comme il s'agit d'obtenir une expression simple dey(^) — ^'^i^), nous pouvons supposera différent de jT), Xo, . . ., x„, et alors la valeur de Rest parfaitement déterminée par l'expression précédente. Si l'on envisage maintenant la fonction

(J(z) = —fiz)^^{z) + (z-xi)(z-x,)...(::-x„)R,

il est évident qu'on a

Ç(x)=o, (J{xi)=o, ..., (j(^„)=0,

donc

où 'f\ a une valeur entre la plus grande et la plus petite des quantités X, Xi, . . ., X/i- Mais ^(5) étant au plus du degré n — i , on a

Il est facile d'étendre ce raisonnement au cas que plusieurs des quantités ^Ti, . . ., jp,j sont égales. La forme du reste, ainsi obtenue, est aussi une conséquence immédiate de la belle formule que vous avez fait connaître.

C'est avec le plus profond respect, Monsieur, que je signe votre très reconnaissant.

4 COIlRESPONDA>CE 1) HEIOUTE Kl DK STIEI.TJF.S.