I.I'TTIIE 79. i6i

suite que, dans la partie du plan où la partie réelle de s est négative, s^^ — -2., — 4' — tJ, ... sont des zéros, et les seuls zéros.

La fonction ^[t) ne peut donc avoir de zéros que dans la bande où la partie réelle de s est comprise entre o et i, ou, ce qui revient

au même, si l'on a ^(a + bi) = o, 6 doit être comprise entre

et H Riemann dit, maintenant, qu'il est très probable que tous

les zéros de la fonction ^(f) sont réels (b^:=o). Or, ayant posé

s = — h ti, cela revient a dire que toutes les racines imaginaires

de ^(5) sont de la forme - + ai, a réel. C'est sous cette forme,

légèrement différente, que j'ai exprimé la proposition de Riemann, n'ayant pas voulu introduire la fonction \{^t) qui n'esl pas l'objet principal de la recherclie et s'introduit plutôt comme auxiliaire dans l'étude de la fonction s('^)- C'est, du moins, ainsi que j'ai envisagé la chose. 11 est vrai que cette fonction ^(/) réunit en soi toutes les difficultés si l'on tâche d'obtenir la décomposition en facteurs primaires de

En considérant l'expression obtenue par Riemann pour ^(<), on trouve bien qu'elle a des racines réelles; mais j'ai inutilement cherché à déduire de cette expression, par intégrale définie, qu'elle a toutes ses racines réelles, et j'avais désespéré de démontrer cette proposition encore un peu douteuse, lorsque j'ai aperçu qu'on obtient cette proposition en modifiant légèrement le raisonnement de Riemann pour obtenir les zéros de ^(5) en dehors de cette bande mystérieuse où la partie réelle de s est comprise entre o

et I. En effet, si, au lieu de 1 : ^(5) = j j ( i ^j, je consi-

dère I I ^{s^ = 1 — - , ^ ,

cette différence capitale, entre le produit infini et la série, que la dernière est convergente pour 5 >> - > tandis que, dans le produit, il faut supposer 5^1. Voici comment je le démontre : La fonction /(«) est égale à zéro lorsque n est divisible par un carré et

l62 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.

|)Our les aiilres valeurs de n, égale à ( — i)*, k étant le nombre des facteurs premiers de n. Or. je trouve que dans la somme

les termes ± i se compensent assez bien pour que ^ reste lou-

jours comprise entre deux limites fixes, quelque grand que soit n (probablement on peut prendre pour ces limites + i et — i). De

là il suit, s étant >■ -5

et de même la série ^ ' '^ ^'^j est convergente, \g{n) \ désignant la valeur absolue de g(n).

Ce qu'il faut démontrer, c'est qu'on peut rendre N •= — j— aussi

petit qu'on veut par un choix convenable de n. Mais, à l'aide àef{n) = g{n) — g{n — i). cette expression devient égale à

'Cn H- m I ^(n — 1 )

Mais on a

Donc

*('" 1 j; - (Tri— . J

ffin ~ 7)1 — I )

V" /( n ) ^ gjn-^ ni) g(n — \) ^ n^ ^ {n-\- m f n^

sg{n) sg(n-i-i) sg(n-^r7i — r)

Or, la série ^^ ^ \^, étant convergente, un peut rendre

\gin)\ ^ \ginj^)\ ^ ^ \g(n-i-m — i)\

LETTRK 79. lG3

aussi petit ([uuii \eut : la même ehose a donc lieu pour 11 en posant

2 fin) ,.y(/i-l- m ) g{n — i) n« ~ (n-r- m y n^ "^

Ue plus, les termes — et convergent vers zéro

et peuvent être rendus aussi petits qu'on veut. Donc la série \ •

est convergente pour 5 >> 7* Je crois qu'elle converge encore pour

la valeur réelle s z=i ^ , mais je n'ai pu le démontrer. Ce qui est cer-

lain, c'est qu'elle ne peut converger lorsque s <C - et, s étant ■< -?

•1 .1 • -Il /"(r ) -H /i 9. I -f-. . .-^ /'(n)

il est donc impossible que ^ ■— — reste comprise

entre deux limites fixes car on en conclurail, comme plus haut.

la convergence de 7 ' i)our des >aleurs de s inférieures à ->

ce qui est impossible . Cela montre plus clairement la nature de cette proposition sur laquelle je me suis appuyé, que

reste comprise entre deux limites fixes.

Vous voyez que tout dépend d'une recherche arithmétique sur cette somme /fi) H-/( 2) -h . . . +f{n). Ma démonstration est bien pénible; je tâcherai, lorsque je reprendrai ces recherches, de la simplifier encore.

Mais on peut déjà se faire une idée de la lenteur avec laquelle croît g[n) (ou plutôt avec laquelle croit l'amplitude de ses oscillations) par la relation A'= E( \/ n ),

la fonction h{x) étant égale à i ou à o, selon que E(j7) est impair ou pair. Comme g{k) est naturellement < /r en valeur absolue,

l64 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIEETJES.

VOUS voyez cjiie

■<«)-. (f )-..... ..(fj

csl inférieur à ik + i en valeur absolue, et nuhne à A -h » lorsque A" est. pair.

Vous voyez bien, maintenant, comment celte étude de "Cis) m'a amené à des spéculations arilbméliques. Mais excusez-moi d'avoir parlé, dans ma lettre précédente, de celle proposition

^ - — loglog/i = A (/i=oo)

qui a été démontrée déjà par ^I. Mertens {Crelle, I. 78) qui a donné aussi la détermination de A, après avoir été, antérieurement, considérée aussi par M. Teliebjchef ( Joi^r/î. de Liouville, i ""^ série, l. XV II). Legendre, déjà, doit l'avoir obtenue par induction.

J'espère, monsieur, que celle lettre n'est pas trop longue; je tiens surtout à vous avoirconvaincu que je ne me suis pas éloigné de la notation deRiemann : c'est, ce me semble, un léger malentendu.

Je suis, avec un probnid l'espect, monsieur, votre bien dévoué.