STIELTJES A HERMITE

Paris, septembre i885.

Je suis parvenu à étendre aux séries de Dirichlet la relation donnée par Riemann entre ^(.9) et v(i — s). Je compte donneidans ma thèse l'exposé complet de ces recherches avec les dc^veloppements qu'elles comportent. L'intérêt que vous avez bien voulu

1^2 CORRESPONDANCE D HKlOIlTi: l'T DE STIELTJES.

montrer à ces recherches me fait espérer que vous ne serez pas mécontent d'en voir ici un échantillon.

Soilyo un nombre imjiair sans facteur carr(';

(-] étant le symbole généralisé de Legendre: n parcourant les

nombres entiers inférieurs et premiers à p. Je désigne encore par 0(5) la série infinie

P Je dé\elop])e suivant la puissance de x l'expression

J'obtiens ce développement en décomposant en fractions simples

; en écrivant ensuite e~^ au lieu de x, développant ensuite

en fractions les expressions de la forme ^ et développant

enfin suivant les puissances de x. Je trouve ainsi ces formules

( f(e-^) s/ p \ , px p^x^ „. p'^x'^ ^^ p'x"^ 1

(l) •' \—e-l>^ 7i L 2 71 '23 71^ • ' ■1^T.'> ' ' <)? tO \

- (/> ;es I, mocLî),

(p ^= 3, niod4 I.

Dans ces formules, ^p doit être ])ris positivement . D'autre part, il est évident (|ue les coefficients doivent être des nombres rationnels. En égalant les valeurs indiquées ci-dessus avec ces valeurs rationnelles, on obtient des formules cjui me semblent devoir être mises à côté de celles-ci, connues depuis si longtemps.