I.ETTUE Sik

fît qui découlent de développements analogues, mais élémentaires. Ces coefficients ont d'ailleurs un caractère arithmétique prononcé,

dans la formule (2) par exemple. — cp (i) a un rapport très simple

avec le nombre des classes de déterminant — p.

Ces formules (i) et (2) conduisent aussitôt aux valeurs des intégrales définies suivantes :

(3) / sin^^— -^^^ l-dx=-^^ f (^ = i,mod4,

/•°° ptx fie-^^ , ^ fie-') , ,, .,,

En effet, on n'a qu'à développer suivant les puissances de t et intégrer alors à l'aide de la formule

Vis) r"" ciu'on trouve aussitôt à l'aide de — ^ — ==^ / x^"^ e'-^' dx .

De cette manière, les formules (3) et (4) sont démontrées en

supposant mod^<C — > mais on voit facilement, ensuite, qu'elles

restent vraies pour t = a -h bi à la seule condition que la valeur

absolue de b reste inférieure à ^^•

En multipliant, maintenant, ces formules (3) et (4) par

t^-uit (o<s<r),

intégrant de o à 00, renversant dans le premier membre l'ordre des intégrations, et faisant usage de ces formules

^'•■-l sin nix ax = sui

,. , , r(5} sn

^'-' coèinx ax = COS :

on obtient la relation entre 'f (s ) et^(] — 5), qu'on peut exprimer

174 CORRESPONDANCi; d'hERMITE ET DE STIELTJES.

en (lisant que

r I - J ^(s) I lorsque /j ;es I , mod 4 );

( - ) r ( '■ ) o{s) ( )) /? = 3, inofl/l I

ne change pas en remplaçant s par i — s.

En suivant la voie cpie vous avez indiquée pour la fonction ^(5), la formule (5) permet de reconnaître que '-^[s) est une fonction holomorphe dans tout le plan, et l'on peut alors étendre à tout le plan cette relation qui lie 'f (5) à 0(1 — s). Cette propriété de '^(5) donne lieu à la remarque suivante :

Comme on a

( — — = l .1: - ne P tir.

il vient, en posant

i,f(a7)=N(-) e r ( /? = I, inod 4 ).

/ Ç|\.r ) —^ \ - \ ne /' ( /> ^ 3. mod 4 1.

( - j " r ( - 1 cp (.s- 1 = / x^ d- (x) dx, 'PI - / «^(1

ri \ - Y ('^^ ) -^(s) =. / x7^ G^^x) d.r.

Les intégrales qui figurent aux seconds membres ne doivent donc pas changer en remplaçant s par i — s.

L'analogie avec quelques autres formules du même genre donne le plus haut degré de probabilité à ce tpie cette propriété se manifestera analvtiquement par les relations

En admettant ces relations, on tronve

n^- \ p ^ i '1 1 \ SH X )

I j-'- ^ (x ] da; — I \ .r- -h X - ) - — ^— dx, t- 0 • 1

/ x~^~ Ç{x)dx=, I { X ^--^x 2 jQ(x)dx,

ce qui montre bien linvariabilité pour le changement (Je s en 1 — s.

Mais la démonstration de ces relations singulières (^) doit dépendre certainement d'autres considérations. D'après ce qui précède, cette démonstration foui'nirait une seconde méthode pour établir la relation entre '^(5) et cp(i — s).

J'ajoute qu'il ne me reste plus le moindre doute sur rexactitude de ces relations (^ ); numériquement, je les ai trouvées exactes poury? = 3, 5, -, 11 et i3; mais pour /> = 3, 5, j'ai une démonstration.

Mais je n'ai pas encore abordé le problème de démontrer ces relations pour une valeur quelconque de p. C'est une étude qu'il me reste à faire. J'ai supposé, dans ce qui précède, p impair, sans facteur carré, mais il j a des formules analogues dans les autres cas. Je dois i-éunir tout cela dans ma thèse. Je désirerais vivement de pouvoir j insérer la démonstration de ^j), mais je ne sais si je serai assez heureux.

Ce sont là les choses dont j'ai cru pouvoir vous parler sans vous ennuyer. Ces formules (i) et (2) m'ont donné quelque plaisir, parce que leur établissement a levé les dernières difficultés (juime barraient le chemin.

Je suis, avec les sentiments les plus respectueux, Monsieur, votre très dévoilé et reconnaissant.