H ERMITE A STIELTJES

Flanville par Noiscvillc (Lorraine). 11 septembre i885. Monsieur, L'extension que vous avez découverte du théorème de Rieinann à la fonction 'f (.^ ) =5j ( ~ ) "^^ ^^^ extrêmement belle et je vous

félicite bien sincèremenl de cette nouvelle découverte. Je trouve aussi bien remarquables et intéressantes les relations que vous tirez du développement, suivant les puissances croissantes de x.

de la fonction -^ — et ie n'ai i)as besoin de vous dire que vos

ihéorèmes non encore d<''montrés, mais qui me paraissent hors de doute, sur les quantités

/ ^ ^ ri'-n.r

ont attiré toute mon attention. 11 ne m'a ])as été possible, n'ajani pas mes livres ici, de sviivre l'idée, qui a dû aussi, d'ailleurs, se présenter à votre esprit, de les conclure des théorèmes fondamentaux de Riemann concernant les fonctions 6(^), en remplaçant le sym-

|,ole || par les formules de Gauss, en sinus et cosinus; mais

peut-être aurez-vous déjà suivi cette voie et serez-vous parvenu au résultat. Permettez-moi aussi d'appeler votre attention, au sujet de la même question, sur un article des Anciens E xercices deCau- (;hy dans lequel le grand géomètre obtient précisément le théo-

rème concernant 4 / comme conséquence d une relation exti'e-

mement générale entre les fonctions auxquelles il donne la dénomination de réciproques. Mais il vaudra mieux qu'à mon retour à Paris je puisse causer avec vous de toutes ces choses dont vous allez faire une des meilleures thèses qui aient jamais été présentées à la Faculté des Sciences. Vous n'ignorez pas, sans doute, qu'en outre de la thèse imprimée, on demande une thèse orale, c'est-à-dire une sorte de leçon de moins d'une heure sur un sujet élevé d'Analyse, de Mécanique ou d'Astronomie, qui sera laissée entièrement à votre ( hoix : })eut-être que l'exposition des i-echerches récentes, dans lesquelles vous avez eu une si belle et importante part, sur la variation de la densité à l'intérieur de la Terre, pourrait faire le sujet de cette thèse orale. M. Darboux et moi nous ferions naturellement partie de la Commission d'examen, et M. Tisserand, j'en suis sûr, se joindra bien volontiers à nous si vous faites choix, pour seconde thèse, de cette question

dont il s'est occupé. Mais, je vous le répète, vous avez pleine et entière liberté, et nous acceplei'ons toute autre question (pii auia votre préférence.

En vous renouvelant, Monsieur, mes félicitations pour le succès de votre Travail, et vous priant de recevoir l'assurance de ma plus haute estime et celle de mes sentiments bien dévoués.