STIELTJES A HERMITE

Paris, i5 septembre i885.

MojvsiEun,

Je dois vous remercier beaucoup de votre dernière lettre et je ne vous cache pas que je verrais avec plaisir que la Faculté choisît pour sujet de ma thèse orale l'exposition des récentes recherches sur la théorie de la figure de la Terre, auxquelles M. Tisserand a donné l'impulsion. Un autre sujet auquel j'a\ais pensé, c'était l'exposition de la démonstration, due à M. Poincaré, de l'existence d'une figure annulaire d'équilibre d'une masse fluide en rotation uniforme, énoncé par MM. Thomson et Tait. Mais je crois j devoir renoncer. Je suis trop accablé en ce moment et cela me donnerait encore trop de travail.

Quant à ces propriétés de 3{x) et Ç{x), j'avais reconnu tle mon coté qu'elles découlent presque immédiatement des propriétés fondamentales delà fonction 0 et des formules de Gauss, en sorte que votre [)révision est réalisée complètement. En effet, sous la condition ((b = 7:, on a

(I) \/a (I -h >,(?-"■ (io?,>.ax -+- ■i.e~'"^' cos ^^ax -\- . . .) et pour 5 = 1, :i, . . ., p — ^ i

Soit/» ^ I, mod4, posons dans la formule (i)

s- sb

Ij8 CORRESPONDANCE u'hERMITE ET DE STIELTJIS.

el multiplions par ( - )• En sommant sur les valeurs 5=1, 'x

p — I. le ])ieniier membre devient, à cause de ('^),

Quant au second membre, le terme e~'' donne naissance aux termes

et le terme e" '"''''' aux termes

à cause de ( - j ^ i- )> ce sont les mêmes termes cpii figurent

dans (a) : l'ordre seulement est renversé. Il en est de même des termes qui proviennent de

g— (i + .fl- g^ p— (26— J)-

(.— [1 h\+'x)' g( (. — [■ib — x)°

en sorte que le second mend^re devient

et, par conséquent,

ou, en posant

d'où

aussi que, sous la condition ah =

On peut dire aussi que, sous la condition au =1 —, on a