STIELTJES A H ERMITE
Paris, i4 février i886.
MoKsiEur. ,
En recevant ce matin une lettre conforme à celle que j'avais reçue hier, j'ai tout de suite expliqué ce fait comme vous venez de le faire, quoique je n'avais pas remarqué l'erreur dans l'adresse
iS/J CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
de voire [)remièi'e lettre. Mais vous m'avez rendu un très grand service en m'indiquanl le travail déjà ancien de M. f^ipsichlz qui m'était inconnu et dont je dois prendre connaissance.
Je suis bien convaincu que jM. Lipsiclilz a, pour la première fois, étendu à des valeurs complexes, sinon la série de Stirlin-g, du moins sa dérivée. Vous trouverez plus loin encore une remarque sur la formule de M. Lipsichtz.
Vous me demandez une démonstration de la formule
la = a logrt rp - — arc tang« — . . . — arc laiig— i n = ao ),
mais il me semble (ja'elle exige à peine une démonstration spéciale, car, en considérant l'expression
T(ai} = -
il suffit de se rappeler que l'argument d'un [troduit est égal à la somme des arguments des facteurs.
Je développe un peu ce que j'avais ])eut-être indiqué troj) confusément dans ma lettre. D'abord, rien n'empêche d'attribuer, dans la formule de Binet,
(i) \ogVia) = (a ) 'og« — « H- log Z^- -J — / ' '., e-"'' dx
à la variable a une valeur imaginaire, à condition seulement que la partie réelle soit positive. [La fonction oi^x') a le même sens que dans voti<' Cours; si j'ai remplacé x par — x dans l'intégrale, c'est parce que cela me semble faciliter un peu quelques développements ci-après.] Je remar(|ue cpie les expressions logT(a) et loga ont luic détcrmlnalioii uiii(|ue par la condition même que la variable ne doit jamais traverser l'axe des^. Mais il est pei'mis encore, dans cette formule, de remplacer a par ai parce que : i" L'intégrale
/ - — -— e-"'^ dx = I (cosax -i- i smax ) dx
a un sens. On sen assure, d'aiJiès une méthode bien connue, en
LF.TTKE 00. l85
changeant les intégrales en séries dont les termes sont alternativement -t- et — , tandis qu'ils diminuent indéfiniment. Et ■>(" Parce que
/ -i e-a'-^ dx
est réellement la limite vers laquelle tend l'expression
cp ( .r )
I ^.~hxQ-aix dx
lorsque la quantité positive b tend vers zéro. Mais, comme peutêtre la démonstration de cela vous semblera à peine nécessaire, je la rejette à la fin de cette lettre.
En remplaçant donc, maintenant, a par ai, il vient, en supposant or >> o,
\ogT(ai ) = [ai j ( loga H j — «j -i- log v/'-^~
H / -^ ^(cosaa" — ismaxax),
•J. . r cr- '
d'où
logR-
log/âïr —
a loga ;
loga-! — / -cosaxdx,
- / ' smax I
dx.
sinaxdx, qui ligure dans la valeur de 0,
converge vers zéro poiir a ^ cc^ et c'est celle qui donne la série
semi-convergente en peut obtenir celte série semi-convergente
de beaucoup de manières. Une des plus simples me semble celle qui consiste à appliquer une intégration par parties à l'intégrale
1 /•" ci(.r) . ,1
- / — — -smax dx \, en sorte que
(4) 0 = «logf/ 7 -~ '■'
mais la discussion du reste est beaucoup plus difficile que dans le cas de la formule de Stirling. De fait, on peut continuer la série jusqu'au plus petit terme et l'eiTeur est alors du même
l86 CORRESPONDANCE d'iIERMITE ET DE STIELÏJES.
ordre que ce terme; en sorte que la série est tout aussi prali(|U(' que celle de Stirling.
A cet égard, je remarquerai que, dans la formule de M. Lipsichtz ((ue vous m'avez communiquée
Via -^ ib -i-ï) . ., B,„+i z^z'i — log(a-4- ih\^ . . .-^ ^^-^ ^ — ,
r(a-^ ib
le terme complémentaire devient infini pour cr = o, en sorte
fin il reste douteux, du moins, qu on puisse calculer -r^n
' 'Il i\ib-+-\)
ou T^-^T— i)0ur de grandes valeurs de 6, par une série semi-conver-
gente.
Or, comme je viens de le dire plus haut à l'égard de T(iO), cela est effectivement le cas. Je crois donc que mon travail ne sera pas inutile.
\ous voyez par la valeur de 0 et par R = 4 / '-^ que,
lorsque le point z parcourt la partie positive de l'axe des y, en s'éloignant de l'origine, le point dont laffixe est r(5) finit par décrire, dans le sens positif, une s])irale, en se rapprochant rapidement de l'origine, la vitesse angulaire croissant aussi indéliniment et, de là, on voit comment se comporte la fonction holo-
morphCj^.
Considérons encore les intégrales <[ui figurent dans les formules (2) et (3), ou ])lu[ôt celle-ci :
qui les réunit.
Au lieu d'intégrer le long de l'axe des x^ de o vers A, il est permis d'intégrer le long de l'axe des j", de o vers B, en évitant les pôles de ©(j^) par de petits demi-cercles de rayon infiniment ])etit £, puis d'aller de B vers A par un quart de cercle.
L'intégrale, le long de BCA, s'évanouit à la limite pour n =^ ce, il ne reste donc que l'intégrale de o vers B. En posant x = it. on obtient, pour la partie rectiligne,
I r o(it) , . -
- / ^- — -e-a'idl, 1.1 t^
et rintégralion doit s'étendre de o À iTz
-, de 2 7: H- £ à
2mzi
kTtV
oc
47rH-£, ...; comme 'f(«/) est réelle, celle partie est purement imaginaire.
Quant aux petits demi-cercles, ce sont évidemment des moitiés de résidus, et à cause de
