X -^ IIIT^I

on voit que le pôle imzi donne le terme

g—2amz^

Ces demi-cercles donnent, par conséquent, la partie réelle de l'intégrale et

I /* '^ co ( j- 1 , V^ ' , ' j / ' \

mettant cette valeur dans (a), je retrouve la valeur lo"R=-lo"

■JL aie'

(jue j'avais conclue d'abord, en envisageant directement la valeur de r(ai) d'après la définition de Gauss.

Mais la nouvelle forme de la partie imaginaire

I /•* cD(a-) . , I r o(it) , ,

- / ■?,\aaxdx= / - — ; — e~"-^ dt

(V de o à -i TT — £., •). t: -+- £ à !\r^ —z) se prête difficilement à des développements ultérieurs en vue de

i88 nonRESPONDANCE d'hermite et de stieltjes.

la .série scmi-convergenlr. On obliont une forme plus iilile en

écrivanl

\ C^ oix) , "V r°° '>.e"-i^ dx

- / J— — e«'-ï- dx rrr > / — __- ,

2Jq X"- ^^J^ 372-^4/1^7:^

et en Irailanl / -— ^ — ; — — -, de la même manière. La partie ima-

ginaire peul s'exprimer alors parle logarillime intégral.

J'ajoute maintenant nue démonstration de ce lait que les intégrales

OFl = / - — — ( I — e-^^ ) cos a x dx, • 0 ^'

I ( I — e-"-^ ) SI 11 «a? dx

convergent réellement vers zéro en même tem})s que b. J'écris

sll

On a

1 Olo, I <

I ^— — ( I — <'-*•'" ) dx <,{i — e-'> 1 / -^ — — dx, I X- .L x^

1 OK^ 1 < f ^ ( I - e-b^' ) dx < ( I - e-v'^) r " '^ dx

On voit ])ar là que DU, et ;)rco convergent vers zéro, car

-^ — -^ reste lime.

Pour faire voir rigoureusement que liinOlla^o, j'applique le second théorème de la moyenne

/ u{x)v(x)dx = u{a) I v{x) dx -h m b) j v(x)dx.

Cela supj)ose que u{a)) varie toujours dans le même sens. M. Dini [Fundanienti, etc., j). 3Go ) a étendu cette formule au cas où l'une ou l'autre des limiles (ou même toutes les deux) sont