H ERMITE A STIELTJES

Paris, 17 décembre 1886.

MojVSIKTJr. ,

Votre Communication, qui sera présentée lundi à l'Académie, est extrêmement intéressante et je vous en fais mon sincère compliment. En voyant avec quel succès vous traitez ces questions si délicates de limites de valeurs des fonctions, dans le voisinage de leurs discontinuités, la pensée m'est venue d'appeler votre attention sur un point de la théorie des ionctiuns qui me semble digne d'intérêt. Rien n'est, en général, plus facile (piand on donne, sous forme rationnelle et entière, une relation entre des fonctions n'ayant que des discontinuités polaires, que de voir comment disparaissent les pôles dans cette relation.

Mais, lorsque au lieu de points isolés on a des lignes entières de discontinuités, il n'en est j)lus de même. Considérez, par exemple, la fonction y/A" = 'j ( 10 ) , qu'on obtient en |)osant ^ = e''^" dans l'expression

et qui a l'axe des abscisses pour cou|)ure. La transformation du troisième ordre vous donne la relation

y( w ) = <p'*(3w ) — 'icpf 3 w) o( w ) [i ç»-( 3io I 'f-(co)] = o.

11 faut donc que la coupure ait disparu dans f{^), mais de quelle manière? Vous savez, n'est-ce pas, que Riemann, d'abord, puis M. Dedekind, par une analyse beaucoup plus facile et plus claire, ont obtenu ce résultat important que pour M = a-rit, t étant infiniment petit et positif, 'f (oj) est indéterminé loi\sqiic la partie réelle a est une quantité incommensurable et qu'en suj)po-

sant <7 := —} où m et /i sont entiers, oUoi) est zéro ou lunité.

suivant que in ou n sont pairs ou impairs. Je désirerais, mon cher Monsieur, que, dans la même voie, vous fissiez un nouveau pas; il me semble qu'on doit pouvoir établir quey*(to) est continu dans le voisinage de la coupure, en allant plus avant dans l'étude de '.p(« + î£); je voudrais vous inspirer l'ambition de pénétrer dans le mystère de l'indétermination des quantités '-p(«) et fp(3«) lorsque a est incommensurable, qui étant indéterminées l'une et l'autre, doivent avoir une dépendance telle qucy(«) ne possède plus aucune indétermination. De nouvelles lumières sur ce point de vue se trouveraient amenées sur la théorie des fonctions analytiques et aussi sur les équations modulaires de la théorie des fonctions elliptiques. Vous verrez facilement et peut-être avezvous déjà remarqué que l'existence de la coujîure dans 'f (w) rend possibles certaines relations qui jamais n'existeraient à l'égard de fonctions uniformes n'ayant que des discontinuités isolées. On ne peut donc se refuser à chercher dans l'élude de ces relations des données sur un nouveau mode d'existence des fonctions, et celte étude demande tout d'abord qu'on éclaircisse ce point, ])Our moi si obscur, de la disparition d'une covipure, dans une combinaison dont la fonction /( co) donne l'exemple.

Ce m'a été une grande satisfaction d'apprendre que vous vous trouviez bien à Toulouse, et que vos collègues vous avaient fait l'accueil auquel vous aviez droit; permettez-moi de vous jirier de me rappeler au bon souvenir de votre doyen, M. Baillaud, en l'assui^anl que je n'oublie point l'engagement qu'il m'a fait prendre et veuillez, mon cher Monsieur, recevoir, avec l'assurance de ma plus haute estime, celle de mes sentiments affectueux et tout dévoués.