STIELTJES A H ERMITE

Toulouse, 3o décembre i886.

Monsieur,

Je dois vous remercier a ivemenl pour le précieux cadeau que vous venez de me donner en m'envoyant la troisième édition de votre Cours de la Sorbonne, précieuse, surtout, parce que c'est une marque de votre amitié. Je l'ai, comme vous pouvez le croire.

10)8 COnRKSPONDANf.F d'iIERMITR ET T)E STIELTJES.

déjà parcouru cl j ai vu qu il j a de jiouNcau beaucoup de choses dont je dois profiter.

Je connaissais bien le Mémoire de M. Dedekind Schreiben an flerrn Borchardt ûher die Elliptischen Modulfunclionen, mais je n'avais jamais pensé à vérifier, comme vous me le proposez, l'équalion modulaire dans le voisinage de la ligne des (lisconlinuilés. Je vais faire de sérieux efforts, mais je ne sais si je pourrai trouver quelques résultats qui valent la peine; en tout cas, je ferai de mon mieux.

J'ai cherché, pour mon Cours, si l'on ne pourrait pas donner un exemple un peu simple d'une fonction qui n'existe que dans une certaine partie du plan, et j'ai rédigé une Note de ce que j'ai trouvé. M. Darboux la fera insérer dans son bulletin ('). Je crois pouvoir indiquer, en quelques mots, ce que c'est. Je pose

<7,, r/o; • • • "n^ ■ ■ ■ sont des quantités dont le module est = i . On peut développer

et 1 on voit que

iodc„<y-i;

supposons maintenant que z s'approche de «/, par le rayon vecteur, c'est-à-dire posons

u étant réel et tendant vers i . Alors le A'""" terme de la série

k^ Uk— z l<i I

est réel positif et croît au delà de toute iiniile.

Maintenant, on yieut choisir les «,, c/o, ..., <?«, .... <le lellr

(■) Note des éditeurs. — \n\v lliillctin bibliographique des Sciences mathématiques, t. XI, 2' série, p. 4''-5i; 1887.

manière que, après rexclusion de ce ternie 7:^ ,> la série reste convergente pour z ^=0/^11, même pour 11 = i^ en sorte qu'on a

lim f(a/,u ) — — — = A,

A étant une constante. Vous vojez donc que, dans ce cas, la partie réelle de /(^) croit au delà de toute limite, tandis que la partie imaginaire tend vers une limite fixe. Mais il y a un nombre

infini de points a/( snr un arc quelconque du cercle de convergence C dont le rayon = i .

Voici comment on peut prendre «), a-i, . • ., ««, ... :

rti, a-, divisent G en deux parties égales;

«1, rtoj <^h, <^(', divisent G en qnalre parties égales;

a,, a-2^ «3, . • ., «8 divisent G en 8 parties égales;

a^, .... rt,c sont les sommets d'un polygone régulier de seize côtés, etc.

La conséquence de cette distribution des quantités a^ est que

, DU mod (cir — « î ) > '

011 étant une constante, /• le plus grand des deux indices /• et s.

Ainsi, il y a bien des points qui s'approchent beaucoup de a^, mais pour que mod(a/i — a„) tombe au-dessous de s, le nombre n

1 ■ A ■ COnSt. 1 r . Il 1 ' ■

doit croître au moins comme , et le iacteur —> dans la série

-^^^ — ]i assure alors la convergence. Du reste, la même

série > — ( donne aussi 1 exemi>le dune fonction qui

n'existe qu'à l'extérieur du cercle G.

•J.OO CORRESPONDANCE I) UERMITE K T DE STIELTJES.

On peul dislribuer les points «,, a-, a,,, . . . snr une ellipse,

lin triangle, etc., et Ton a alors une lonclion qui n'existe qu'à rinlcrieur (ou l'extérieur) d'une ellipse, d'un triangle.

Mes meilleurs souhaits pour le nouvel an, voire très respectueux et dévoué.