HERMITE A STIELTJES

23 février 1887.

Cher monsieur Stieltjes,

Mille remerciements pour l'excellente démonstration de la

formule concernant la fonction ; ie ne fais point comme

gu,- — I •' i

212 CORRESPONDANCE I) IIERMITE ET DK STIELTJES.

VOUS grise mine à la condition lim-^ = o, je raccueille Ijien

volontiers comme condition caractéristique du genre de concours auquel il est nécessaire de recourir, sans lui faire le reproche d'être artificielle. Permettez-moi une remarque qui m'est venue à l'esprit à propos de cette application du théorème de M. Mittag- Leffler. En supposant la suite

convergente, avec les conditions

mod ai < inod (72 < modas • ; . . . , j'envisage la fonction suivante

où G(^) est une transcendante holomorphe, et je me propose de la mettre sous la forme analytique de ce théorème. Soit, à cet edet, Si, t-2 î« des constantes telles que l'expression

repx'ésente une fonction uniforme. En faisant

G[x) = G(a„) -, \-. . .-. — Rv,

il est possible de déterminer l'entier v, de manière à remplir la condition Rv-<Sv pour les valeurs de la variable dont le module est moindre cjue ««. On obtient ainsi

(cc — a„)y-i G^'^Ua,,)

cl, puisque la seconde somme définit une fonction, il en est de même de la première et l'on en conclut immédiatement le résultat cherché

LETTRE 110. 2l3

Peut-être ne serait-il pas trop difficile de faire une application

de ce procédé à la quantité -^ ; il suffirait d'avoir iine limite

supérieure de D".[e'' ).

Mon inadvertance de supposer les limites infinies dans Tinté errai e

est bien regrettable, et je vous sais bien gré de me l'avoir signalée. En attendant que j'aie pu suffisamment rétlécbir, voici peut-être un moyen d'éviter la difficulté. Soit d'abord

je remarque que la relation

<ï>(N)- *(iN'j =—>,/subsiste si l'on prend

<i>(z)= I \F(t + z)-i ^-^. :\dl

sous la condition que F(^ + r) soit finie le long de la coiqnire. En admettant que cette fonction soit telle que la nouvelle intégrale ait un sens pour ^ = + a, y. = — ce, il me semble que rien ne s'oppose à ce qu'on admette, dans ce cas, la relation

<ï>(N) — *(N') = — '2iiz.

M. Picard vient de m(.' dire qu'au mojen d'un cliangement de variable, l'aire d'un cercle peut devenir le demi-plan, d'où résulte que de la formule de Gauchj

,., I rf(z)dz