STIELTJES A H ERMITE
Toulouse, i" mars 1887
INI
ONSTEVR.
J'espère que vous voudrez bien m'excuser si j'ai ajourné à quelques jours la réponse à votre dernière lettre c[ui m'a fait tant de plaisir.
D'abord, je dois faire amende honorable, après avoir consulté l'article de M. Poincaré {Comptes rendus, t. XCVI, p. 1 134), je vois qu'il n'a pas le rappoil si immédiat que je crojais avec la question qui se présenta à propos de votre intégrale
f{x) cot dx.
Le théorème de JM. l^oincaré est le suivant :
Soient fi^x) une fonction existant seulement dans la moitié supérieure du plan, f\(.r) une fonction existant dans la moitié inférieure du plan, alors on pourra toujours trouver
deux fonctions '■p(-i"), ^(-3:^) existant dans tout le plan, telles que
o i x) -T- <h {x ) =^ f{x) ou fi{x)
selon le cas. o{x) admettra pour coupure la partie de Vaxe de — 1 à -h I , '|(.r) les deux coupures de — x à — \ et de ~ \
LETTRE 111. 2l5
Dans sa démonslralion, M. Poincaré applique la formule de Fouiner
el il sappuie aussi sur cette remarque que l'expression
nnx
définit une fonction dans la moitié supérieure du plan et
une fonction dans la moitié inférieure. Dans l'article cité, M. Poincaré introduit la dénomination de coupure arlificielle qui me semble heureusement choisie et qui répond à un besoin que j'ai ressenti quelquefois.
L'observation de M. Picard à l'égard de la formule de Cauchj
f{z)dz
ne répond pas précisément à la question telle que je l'avais envisagée. En effet, elle montre qu'on peut calculer f{x) lorsque les valeurs de f{z-) (sur la courbe C) sont données. Mais on ne peut pas donner arbitrairement les valeurs de y(;) sur la courbe. Au contraire, on sait (Riemann, Dissertation inaugurale) qu'en donnant simplement sur la courbe C \d, partie réelle u de
f{x) = u-\- iv,
la partie imaginaire v est déjà déterminée, par là, à une constante additive près: en effet,
Dans la question telle que je l'ai envisagée, il faudrait donc démontrer que v s'annule sur l'axe des quantités réelles. Riemann {^OEuvres, p. ayo) a énoncé ce théorème :
Etant donnée une Jonction périodicjue J(x ) de la variable
2l6 CORRESPONDANCE DHERMITE ET DE STIELTJES.
réelle x^ alors il existe loujouis une fonction 'f(x + iy^) finie pour y ^ o et qui se réduit à f[x) pour y = o.
Il renvoie à sa disserlallon poui- la démonslralioii. Mais M. Schwarz [Journal de Borchardt, t. 7i) a déjà appelé l'attention sur celle assertion qu'il semble dilficile de justifier.
Pour ma part, je crois pouvoir démontrer sans réplique ce qui suit :
Si la fonction y(^) a lïne discontinuité dans sa dérivée, alors l'assertion de Riemann ne peut être exacte.
Si, dans ce cas, il est possible de continuer la fonction f[x) dans une moitié du plan, la partie imaginaire v ne peut pas se
Keprésentalion de f{x].
réduire à zéro sur l'axe des quantités réelles. Mais, quoique mon raisonnement n'est pas bien compliqué, je ne crois pourtant pas devoir le développer ici.
Je viens de voir que la formule de décomposition de a été
donnée par M. Kronecker. C'est, en effet, la formule (-), page 85 i . des Comptes rendus de l'Académie de Berlin de i885. M. Kronecker donne une démonstration très curieuse qui lui fournit une formule plus générale (i a) où il suffit de faire ù = i pour retrouver la formule {'j).
M. Kronecker dit aussi l'avoir donnée déjà dans les Comptes rendus de i883, page 4991 ^''^^^is, en cet endroit, il s'est borné simplement à dire que la formule revient au développement de Fourier de cos«.r, sina.^. J'ajoute que dans le Mémoire cité [Comptes rendus de i885), M. Kroneckera remarqué aussi qu'on déduit aussitôt de cette formule le développement en série de Fourier des polynômes de Bernoulli.
Votre très respectueusement dévoué.
r.ETTKE 112. 9.1-
