IIERMITE A STIELTJES

Paris, S mars 1H87.

Gheu Monsieur.

J'ai bien de la peine, à cause de l'allemand et de la complicalion des calculs, de tirer parti du Mémoire de M. Kronecker, qui me paraît cependant d'une gi\ande importance, et je ne suis guère plus heurexix avec le beau travail de M. Poincaré sur les fonctions à espaces lacunaires. Comment donc arrive l'expression

Rebuté, comme vous voyez, par l'Analyse, je me suis occupé d'une formule que Gauss donne dans l'article : De nexii inter multitudinem classiitni, etc. {Œuvres, t. II, p. ■270), pour exprimer le nombi'e des points contenus dans le cercle x--\-y- =^ A et sur le contour, dont les coordonnées sont des nombres entiers et j'ai remarqué qu'elle s'étend au cas de l'ellipse A^x^ -h ^y- = N.

Faites

puis

le nombre des points contenus à l'intérieur et sur la circonférence de l'ellipse est

On doit à Dirichlet une formule d'une grande importance dans les questions de ce genre et que j'ai employée récemment dans un article du Journal de Crelle : Remarques arithmétiques sur quelques formules, etc., t. 100, p. 55.

En voici une démonstration facile :

Soily=/{jc) la courbe lîgurée par A'B' depuis x = 0A= ; jusqu'à X = OB = p, et dont on suppose l'ordonnée décroissante entre ces limites. En désignant par A" la projection de A' sur

JC

l'axe Oy, je chercherai le nombre des points ayant pour ordonnées des entiers, qui sont contenus dans Taire OBB'A'A'O avec ceux qui se trouvent sur la courbe et sur les axes de coordonnées OA" et OB. L'aire en question se compose du rectangle OAA'A"0 et du segment ABB' A A.

Dans le rectangle, avec la condition admise, le nombre des points est ç.P][/(^)], et dans le segment c'est la somme

Cela étant, je fais la même énumération d'une autre manière, en projetant le point B' sur l'axe des ordonnées en B", ce cjui me donne, de nouveau, un rectangle OBB'B"0 et un segment

Or le rectangle me donne, si je pose x = g' {y)-)

et le segment conduit à la somme

et faisant yj = E [/(i)]- On trouve, en égalant les deux expressions, la formule même de Dirichlet, dont les applications sont nombreuses et intéressantes, par exemple en faisant j- ^= .r"'. Pour m = 2, on trouve ainsi un résultat (ju'a donné M. Bougaïeff, dans un article très remarquable pul)li('' diius les Comptes rendus (').

(') Note des éditeurs. — Voir Comptes rendus, t. C, p. nSg.

LETTRE 113. "^'ig

Je reviens aux fondions pour vous remercier des indications précieuses que contient votre dernière Lettre et vous dire que, sur ces questions difficiles autant qu'importantes, je ne suis qu'un écolier, n'ajant pu, à cause de l'allemand, étudier Riemann dont je n'ai qu'une idée absolument superficielle. Mais je sens tout l'intérêt de la pro[)osition du grand géomètre à laquelle vous faites des objections qui portent sur la discontinuité possible de la dérivée. En précisant les conditions restrictives qu'elle couq^orte, vous ferez une chose extrêmement utile, et ce me sera un grand plaisir d'étudier votre travail sur ce sujet et de me faire voire élève. M. Mittag-Leffler m'a informé que la lettre écrite par les membres de la Section de Géométrie dans l'intérêt des Acta a reçu du Ministre de l'Instruction [)ublique de Suède un accueil on ne peut plus favorable, et que, maintenant, il ne doute pas que le Stortbing n'accorde les subventions nécessaires à son Journal.

Avec la nouvelle assurance de mon affection bien dévouée.