LIER. MITE A STIELTJES

Paris, 1 1 mars 1S87.

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Vous avez éclairé de la plus vive lumière le théorème de Poincaré qui m'avait paru si obscur avant d'avoir votre Note que j'ai lue avec admiration, je vous le dis en tonte sincérité. Mais je ne dois point garder jiour moi seul votre beau travail, et je viens vous prier d'en faire le sujet d'un article étendu pour un de nos recueils, le Journal de M. Jordan ou les Annales de L'Ecole normale. Je suis extrêmement frappé de la possibilité que vous avez si bien établie des développements en séries de '3[x)^{x),

LF.TTKI' 114. 221

suivant les puissances desccndanles et de 'b(x) Q(x), suivant les puissances croissantes de la variable, et je ne puis douter que tous les géomètres n'attachent le plus grand prix à votre analyse.

Il me semble même que je pourrais donner votre méthode dans une de mes Leçons, à moins que vous ne désiriez vous réserver d'approfondir encore davantage le sujet, qui en vaut la peine par son importance. Vous pensez bien que je me suis demandé si l'on peut prendre comme exemple

au-dessus de l'axe des x^

au-dessous, de manière à associer à la formule de Fourier

<pii peut n'exister que pour des valeurs réelles, la fonction F{x) qui existe dans tout le plan, sauf sur l'axe des abscisses. Mais il m'est vraiment superflu de vous donner aucune indication et, mieux que moi, vous saisissez, dans toute leur étendue, le rôle de ces considérations nouvelles et profondes, sur une question capitale d'Analjse.

Vous me faites grand plaisir en m'apprenant que vous songez à la coupure des équations modulaires, coupure qui n'est pas artificielle, comme celles de Riemann ou celles des intégrales définies. Si vos efforts sont couronnés de succès, comme je l'espère, permettez-moi de vous engager à en faire le sujet d'un Mémoire présenté à l'Académie des Sciences et sur lequel M. Darboux, M. Poincaré et moi nous ferions un Rapport qui nous donnerait occasion de dire publiquement ce qvie nous savons tous de votre beau talent.

En vous renouvelant, mon cher monsieur Stieltjes, l'expression de mes sentiments affectueux et bien dévoués.

222 COnUESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.