HERMITE A STIELTJES

12 mars 1887.

Cher Monsieur,

J'ai bien crainle de vous prendre indiscrèlement voire temps el d'abuser de votre complaisance, aussi ne vous pressez point, je vous le demande instamment, pour me dire si je comprends bien, comme je le crois, la proposition de Poincaré en admettant que la fonction F(x), telle qu'il la détermine ainsi que vous me l'avez si bien expliqué, a dans tout le plan, nono])slant la coupure, une seule el unique expression analytique.

Dans ce cas, on aurait un exemple d une extrême généralité, du fait analytique déjà signalé par Weierstrass et que met en évidence la série de Tannerj

(jui existe dans tout le plan, étant -j- i ou — i, suivant que moda^' < I ou mod^r > i . Mais je ne me trompe point sans doute, en regardant que celte expression unique n'est point donnée au moyen de vos développements cp(:r) 0(a- ) ^\ <7,,,r~" el

'!/(.r) 0(^) =^^"-^ "5 p^'i^qiie le premier suppose mod,r>>i el le second mod j: <C ' • Faul-il par conséquent se résigner à l'expression

■iiT. o{x)Q{x) = / dz-

suivant votre [premier contour et à

suivant le second? J'ai tout lieu de le penser; préoccu])é d'autres choses, j'ai recours à vous poui- dissiper ces nuages, sous les plus expresses réserves de votre convenance, et en vous priant de ne vous presser aucunement pour me sortir d'embarras.

Avec la nouvelle assurance de mes sentiments bien afleclueux.