n ERMITE A STIELTJES

17 mars 1887.

Cher Monsikuiî,

Voire expression de ^[x)o{x) clans tout le plan, |)ar la fraclion continne

me paraît extrêmemenl remarquable; elle me rappelle que M. Halphen, dans les Comptes rendus d'il y a deux ans, a déjà signalé, au poiul de vue de la convergence, les circonstances singulières que présentent les développements de cetle forme, et je suppose que le travail de l'émineiil géomètre aura attiré votre attention. Pendant que vous songez à la cinématique, aux déj^ens de recherches d'une nature plus élevée, je dois aussi m'occuper de mon enseignement, et j'ai charge de fournir des exemples d'intégrales définies qu'on détermine au moyen de résidus. Peut-être dans vos conférences serez-vous aussi conduit à ce sujet; c'est ce qui m'engage à vous indiquer la remarque suivante qui fera le sujet d'une de mes leçons.

Soil

¥{z) = {z-a)"'iz — by...{z- ly.

Je me propose d'obtenir l'intégrale

re--«dz

prise le long d'un contour fermé comprenant à son intérieur

(') Notes des éditeurs. — Kiilre le 12 et le 17 mars, il y a eu sûrement quelque lettre de Stieltjes que nous ne possédons pas.

224 CORRESPONDANCE DllERMITE ET UE STIELTJES.

rt, b, ...,/. Si l'on désigne par ijl le degré de F(-:;) de sorle que jjl = 7?i -I- /» -f- . . . -H .s-,

il résulle d'abord de l'expression même de l'intégrale que. pour ^ = G, on aura

et par conséquent le développement suivant les puissances croissantes de X

J = A.rP--i+ BxV-r- Cx^+^-^

Telle est donc aussi la somme des résidus de la fonction

pour les divers pôles a, b, . . ., /.

Or le résidu correspondant à l'un d'eux, z- r= «. par exemple,

est de la forme

n„i, [x) étant un polynôme en x, du degré m — i . On aura donc la relation

= A,r!i->-f- BxV-^ CxV--+-^-^

Cela étant, je remarque que le système des polynômes Ilw i, n„,, ... donne le degré d'approximation le plus grand possible de la fonction

Effectivement, le nombre des constantes arbitraires contenues dans P,«i, P//i, ..., Pi i est /?i -|- /i +. . .-4- 5 = [Ji, et comme elles entrent sous forme homogène dans les coefficients des différentes puissances delà variable, on pourra égaler à zéro les [j. — 1 premiers termes. Elles se trouvent en conséquence délerminées, sauf lin facteur commun, par la condition que le développement de la fonction linéaire des diverses exponentielles commence au lermc en xV-~^^ et c'est cette détermination qui se trouve réalisée par les expressions

Je confie maintenant à votre cœur arithmétique ce dont je ne dirai rien aux élèves qui ne s'en soucieraient guère; je me propose de donner un système de formules récurrentes, pour obtenir de proche en prociie, pour toutes les valeurs de l'entier m, le système des polynômes qui se rapportent au cas de

Mais pour cela, j'ai besoin d'un peu de temps, et je ne sais pas trop quand il me sera possible d'en venir à bout.

Dans l'espérance qu'un beau travail résultera de votre idée excellente et si originale sur le mode d'expression des fonctions t)(:r) cp(^), Q(x)<i^(a;), et en vous félicitant vivement de cette nouvelle conception, je vous renouvelle l'assurance de mes sentiments bien affectueux et bien dévoués.