HERMITE A STIELTJES

Paris, 29 mars 1887.

CuEa Monsieur,

M. Mittag-Leffler a pris pour sujet de ses leçons à l'Université de Stockholm, le Mémoire de Riemann sur les nombres premiers qui a été l'objet des excellentes recherches dont vous avez donné les résultats dans les Comptes rendus de i885. Le théorème merveilleux que le nombre des racines de l'équation ^(;) = o, dont la partie réelle est comprise entre les limites o et T, est

— log j

a naturellement appelé son attention et il m'écrit qu'il lui a été impossible de le démontrer, en faisant appel à mes lumières. Vous ne serez pas surpris que j'y ai répondu par le conseil de recourir aux vôtres, qu'il a suivi avec empressement. M. Mittag-Leffler se trouve cependant arrêté à un point, il ne peut voir comment vous établissez que la série

220 CORRESPONDANCE d'iIERMITE ET DE STIELTJES.

est convergente tant que la partie réelle de s surpasse - > et c'est en

son nom que je viens vous prier de vouloir bien lui écrire pour le tirer d'embari-as. Vous lui ferez grand bien en lui donnant les éclaircissements qu'il attend, me dit-il, avec impatience.

Permettez-moi une remarque élémentaire et pédagogique sur les facteurs primaires à laquelle m'a fait penser le passage de l'expression

sina: = :r I | | i

/tTI

à celle-ci

cosa? = I I ( I— -^ J e'"'^

On y parvient immédiatement, au moyen de l'équation sin2a7 = 2sina7 cosa?

qui donne cos^r ^ -^^ — -. — ? mais on peut désirer d'y parvenir en changeant :r en [- x. Considérez plus généralement la formule

où les polynômes P«(cr) sont de degré quelconque. En changeante: en .r + ç, l'identité

permet d'abord d'écrire

on obtient ensuite, en divisant membre à membre avec l'expression

que je vais appliquer au cas de sinx. On trouve alors

qui ne donne point pour ^ == - la même formule que tout à l'heure.

La réponse à cette difficulté est dans l'expression plus générale que voici, où a désigne une constante quelconque, à savoir

sin(a^-+-n

. i Z± ;^ g — .i-col

Faites, en effet, en particulier «= '-■, avec ^= -, et vous

avez bien le résultat cherché. Enfin isolez le facteur qui correspond à « = o, vous avez la quantité

et comme cotrt s'annule pour a = o, vous parvenez à l'autre

formule .

Et tels sont les pauvres fruits de mes leçons.

En vous renouvelant, mon cher monsieur Stieltjes, l'assurance de mon amitié bien dévouée.