STIELTJES A IIERMITE
Toulouse, 23 mai i888.
J'espère que vous n'aurez pas expliqué trop à mon désavantage le long silence que j'ai gardé après votre lettre si pleine de bonté et pour laquelle je dois vous remercier encore de tout mon cœur. Mais nous avons été si abattus par le coup cruel qui nous a fait perdre notre aîné, après une semaine de cette terrible maladie (diphtérie), que je n'étais guère capable de parler de notre Science. Vous savez ce que Lagrange disait de la nécessité de ne jamais cesser de travailler, d'être toujours sur la brèche pour ne pas laisser s'endormir l'esprit et le tenir en haleine et je sens que ce n'est que trop vrai.
Veuillez donc m'excuser celte fois si j'ose vous parler d'une
question que je n'ai pas encore approfondie, mais à laquelle je pense depuis quelque temps.
Soient
X = a^x'* -\- ^aix^ -+- GaoX^ -h- . . .-\- a^,
je pose d'abord celle question. Dans quels cas est-il possible d'établir la relation
dx dy
à l'aide d'une substitution linéaire
(2) p -\- q X -^ ry -[- sxy = o ?
La réponse est immédiate : il faut et il suffit l'égalité des invariants
bo bi h..
ai
^1 b. bs b, b, b.
(Je fais absti^iction des cas particuliers où X = o, Y= o auraient des racines multiples.)
Ces conditions (3) étant supposées satisfaites, je me propose d'approfondir, au point de vue algébrique, la détermination des coefficients p, q, /•, s.
Soient
Xlj X-^j X^j Xr^j
les racines de X = o, Y= o. Leurs rapports anharmoniques sont égaux et si l'on suppose, par exemple,
(a?i, X.2, X3, x^) = rapp. anharm., {xi, x.,,x3,x!,) = iyi,y2, .73,7'.),
alors les substitutions (2) font correspondre
xi, x.2, X3, xr, à yi, y2, 73, JKi,
ou à JK2, JKl, Ji, 73,
ou à ys, yk, yi, yi,
ou à j'i, y-i, y., yi-
23o COKRESPONDANCE d'iIERMITE ET DE STIELTJES.
Ainsi, il J a loujours quatre subslitulions de la forme (2) el le problème doit dépendre d'une équation du quatrième degré.
11 est vrai qu'on peut écrire directement ces substitutions si l'on connaît ;r,, ^o, ..., ^4, jKi? JK27 •••; J'k-, mais cela exige la solution des deux équations
Il est bien vrai que, à cause de l'égalité des invariants, cela ne doit pas compter pour la solution de deux équations indépendantes du quatrième degré, mais toujours cela exige un peu plus (le calcul de deux racines carrées) que la solution d'une seule équation du quatrième degré. Or, la vraie solution du problème doit dépendre ai une seule équation du quatrième degré que je me suis proposé d'établir.
Dans un cas particulier, la solution est facile, et je veux l'indiquer parce que cela montre aussi comment j'espère parvenir au but dans le cas général.
Supposons
«/= ht (t = o, I, 2, 3, 4),
alors il est clair qu'une des substitutions demandées est
la détermination des trois autres doit dépendre d'une équation cubique.
Je considère l'intégrale générale de l'équation diflerentielle (i) que j'emprunte au Traité de IM. Cajlej-Brioscbi Sur les fonctions elliptiques, page 3 18,
n -\- •}A\ X -\- <^x- -\- "iyi h -\- -ih X -h f .r^ ) -h y-{g -h ■2ÎX -\- cx^) = o. Je conserve les notations de M. Cajlej qui a pris
X :^ a -h bx -+- cx--i- dx^-h ex^ (p. 3i8), Y = a-h by -+- cy--\- df^-\- cy'*,
les coefficients a, b, c, f, g, h sont des polynômes du second degré en C, la constante arbitraire, el si Ton écrit l'équation sous
la forme
A -4-2Bj('-i-Cjk2 o ou
Aj-f- aBiA' H- C^x- = o,
LETTHE 121. 23l
on a
