STIELTJES A HERMITE

Toulouse, i3 juin i888.

Monsieur,

J'espère que vous me pardonnerez si je continue à parler du problème que j'ai mentionné dans ma lettre précédente. Posant

X = aoar'*+ 4«i^* + • • •+ «V)

OÙ les Gi, bi vérifient les deux relalions

S = «o«i — 4^1 '^:i+ 3a| = bob;, — 4 (^i ^3 -t- 3 6|,

bi

hy

bz

Il s'agit de la détermination des qviatre intégrales particulières de la forme

(i) p ^ qx + ry -\- sxy =. o

de réf[ualion différenlielle

dx'^ dy'-

Je viens d'abord d'obtenir l'équation du quatrième degré dont dépend la solution, mais elle serait trop longue à écinre, aussi n'ai-je pas fait le calcul de certaines vérifications. Mais voici un autre résultat de mes recherches qui pourra vous intéresser.

Soit

le Hessien de X; de même

le Hessien de Y.

Alors vous avez donné ce résultat remarquable que, en posant

on obtient

de même, en posant

on aura

2 dx

du

v/X v/4«^— Sii — T'

2 dy

dv

Il est clair par là que la relation

OU (3) XH^ — YH^=n

est une inlégrale particulière de (;>.). Or, je trouve maintenant que

XHj — YH.^

est égal au produit de quatre expressions de la forme p-k-qx^ry-^s xy

et, en égalant à zéro ces quatre expressions, on a précisément les intégrales particulières cherchées de l'éc[uation différentielle.

Il est facile de vérifier ce résultat dans le cas a/= 6/, l'un des facteurs de XHj — YH^ est précisément x — y. Mais je n'ai pas encore effectué complètement les calculs prolixes, nécessaires pour la vérification dans le cas général.

Veuillez bien agréer, Monsieur, l'expression de la plus sincère reconnaissance de votre dévoué et respectueux serviteur.

P . S. — J'espère pouvoir bientôt publier dans les Annales de notre Faculté ces recherches sur l'équation différentielle

dx^ dy^ ,