STIELTJES A HERMITE
(4, rue de Fleurancc-AIonplaisii') Toulouse, i5 juin i8S8.
Voulez-vous bien me permettre de i-evenir encore sur ce problème des substitutions linéaires
p -\- qx -^ ry -h s xy = o
(') JYote des éditeurs. — Le Mémoire de Stieltjes sur ce sujet est inséré dans
le Tome II des Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, p. K.i, i888
et a poui' titre ; Sur la transformation linéaire de la différentielle ellip-
dx tique — =•
234 CORRESPONDANCE d'uERMITE ET DE STIELTJES.
([ui donncnl
dx'^ dy^-
je vous promets expressément que ce sera la dernière fois.
Vous savez que j'ai considéré d'abord le cas cn^bi, alors p, q, /•, s s'expriment rationnellement au mojen de «/, racine de
J'ai tâché alors de traiter le cas général de la même manière en établissant dabord l'intégrale générale de l'équation différentielle
sous la forme
a + 2 a' ar -1- a" a?^
(i) -H 2(P + 23'ir -t- P"a;2)j
OÙ les a, |j. Y, . . . sont des polynômes du second degré en C (la constante arbitraire).
Mais il m'a coûté beaucoup de peine pour trouver cette formule (i) et elle est très compliquée. Mais, une fois cette formule obtenue, la solution du problème n'offre phis de difficulté et l'on trouve directement l'équation du quatrième degré en C. Si G satisfait à cette équation, le premier membre de (i) est un carré parfait et l'on obtient ainsi les suljstitutions linéaires
Pi + qiX -\- i-jY -f- 5,:.rj = o ( t = i , 2, 3, 4 )•
Mais le théorème que je vous al communiqué,
YH r — XHy = const.n (/?/-t- qix -\- riy H- sixy),
permet de résoudre la question d'une manière beaucoup plus facile.
En effet, il est clair qu'on n'a qu'à donner à y une valeur particulière (par exemple o ou ce) et à résoudre alors une équation
du (piatrième degré
all^ — j3X = o.
Il y a même avantage à considérer directement l'équation
YH.,.— XH^=o,
en y regardant y comme constant. Or il est bien connu qu'on
peut faire dépendre la solution de cette équation encore de
l'équation résolvante
4 ;<^ — Su — T = o.
En poursuivant cette voie, je trouve que la détermination de ces substitutions linéaires s'obtient aisément à l'aide de ces fonctions di, . . .
que vous avez rencontrées dans votre premier Mémoire Sur la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées [Journal de Crelle, t. 52, p. i5). Il faut considérer en même temps celles qui appartiennent à X et à Y.
En somme, on reconnaît que, pour avoir les p,^ qi^ ..., il faut calculer d'abord les racines W|, «25 '^3 de l'équation en u. Ensuite il j a à calculer les racines carrées
/??, = \/[a\ — rto«2 — aoUi){ùi — 0^)0., — ^u"i j, /??, = \/(a'i — «o«2 — «o"2) (^î — ^0^2 — ^0"2),
'«3 = v/(«'l — «0«2 «0«3) (^1 1*0 l>2 bo^s),
mais à cause de
nii in^ni^^ 7 («0 ^3 — 3ao«i «2+ 2«f ) (6^ 63 — S^o^i ^2+ 26f ),
on a à calculer réellement seulement deux racines carrées.
Les Pi, cji, . . ., s'expriment alors rationnellement.
Pour avoir séparément les racines de X = o et de Y = faudrait calculer
\a\ — «o"2 — «uWi, \/ 1>\ — ^0^2 — ^u «1) \/a\ — «o"2 — «u Uii V^^i — bob 2. — ^0 "2, \/a\ — a»a.i — rtu«3, \/b\ — b^b^— boih,
ce qui constitue, en réalité, quatre racines carrées à calculer. En somme, je me suis donné bien du mal pour éviter le calcul de deux racines carrées; on pourra penser que c'est bien peu de chose.
On voit aussi maintenant comment il arrive que, dans le cas a,-= bi, il suffit de connaître «,, u-j, u^.
236 CORUESPONDANCE d'hEKMITE ET DE STIELTJES.
Je crois que ces résultais éclairciront aussi la nature de l'équation en C dont j'ai parlé ])lus haut. En effet, si je considère Téqualion en D dont les racines sont
«ii-t- m -2— /na, mi — 7}i-> — m 3,
■ — /»i — m.,-\- nis,
il me semble qu'il doit exister une relation simple entre C et D, et je ne pense pas me tromper en soupçonnant que cette relation sera
en sorte qu'on pourrait même avoir simplement C = D en changeant convenablement la constante arbitraire C qui figure dans la formule (i).
Quant au théorème
YII^— XII j. = U{pi -+- qtx + Vif -t- Sixy),
VOUS aurez remarqué sans doute que, à cause des propriétés invariantes, il suffit de l'établir dans le cas
et il vient alors
YH.,. — XHy = conî-t. (372 — j2) (i W-x^-y'^ ).
Mais cette remarque si simple que le problème proposé revient à décomposer YHj. — XHj ne s'est pas présentée tout d'abord.
Veuillez bien me croire, Monsieur, votre respectueusement dévoué.
