partie réelle de a <+i

Cependant il n'est pas difficile de reconnaître, d'après la formule ([3) elle-même, que {}{cf) est holomorj)hc dans tout le plan. En effet, à l'aide de l'identité

IH

il vient

(Y) Ç(a) = e-{a-i)gia-i).

Celte relation permettant de déduire {){o.) de (^{a — i) peut servir à continuer la fonction (j(«) dans tout le plan.

La formule (a) n'est qu'un cas particulier de la suivante où t est réel et positif

fa fri-hl (a+ï ^<ï+3

(o) r(a) cosTia =

— — valeur princip. / dx.

J'indique la démonstration. Soil '^{t) le second membre de (o), alors

do(t) , , I d , . . r*a7-«e"i-^' ,

— —, — = t^-^ e' — —r valeur pnncip. / ■ dx

dt TU — a)dt ' ^ J^ i — x

— ta-ie'—- — î / x-^'e'^^-^^ dx = t"-^e'— t''-ie'=o,

en sorte que ^{l) est indépendant de t. Alors, en supposant o -< rt < I , on obtient, en posant < ^ o,

o(0 = ç(o)= valeur princip. / • dx.

' ^ 1 (I — «) ' ^ Jo ^ — -^

Or on a

valeur princijj. / dx = — TrcotTra.

C'est ce qui résulte facilement des formules que vous donnez dans votre Cours; on trouve aussi cette formule dans Briot et Bouquet, Fonctions elliptiques, page i43- H en résulte

, . . ^ T COtTTCf , , ^

ç(f) = tp(o) = — =r(a)cos7ra. c.q.f.d.

Naturellement, il faut justifier la différentiation sous le signe /

et aussi montrer qu'on peut faire légitimement i = o. Aussi, on établit, de cette façon, la formule d'abord seulement pour

mais ensuite on voit quelle ne peut cesser de i^ester vraie sans celte condition.

(') Note des éditeurs. — La notation P.R.a s\%n\ûe partie réelle de a.

Je vous renouvelle, Monsieur, mes vœux pour le rétablissement de votre santé dont j'espère recevoir de meilleures nouvelles que la dernière fois. C'est là, je vous Tavouerai, un peu la raison de cette lettre et vous pouvez considérer la fonction F simplement comme un prétexte de vous écrire une lettre peut-être déjà trop longue.

Veuillez bien me croire votre très dévoué.