HERMITE A STIELTJES
Paris, 12 octobre 1888.
Mon cher ami,
Je viens vous remercier et vous dire que votre théorème
V(a) cosira = 1 ■ h ^ h. . . — Qia)
m'a fait grand plaisir; permettez-moi, en même temps, de vous prier de publier votre lettre dans le Bulletin de M. Darboux afin que d'autres que moi en profitent. Les valeurs principales des intégrales définies dont Cauchy, qui en a donné le premier la notion, a été seul jusqu'ici à employer, méritent, comme vous le faites bien voir, la plus grande attention, et je pense que, à cet égard tout particulièrement, la publication de votre lettre rendrait grand service.
Permettez-moi de rapprocher votre expression
d'un résultat que m'a communiqué M. Lerch. Soit
Q(«) = i x'^-^e-^ clx
la fonction holomorphe de M. Prym, on a
e^ Q(«) = —^ / '^ dx.
Ces fonctions (/(w), Q(«) sont d'une nature très mystérieuse,
bien qii'liolomorphes, et, quelque mal que je me sois donné pour y parvenir, je n'ai pas, à mon gré, réussi à trouver une expression suffisamment explicite pour Q(«). H y a quelques mois, en avant sous les yeux le simple développement en série
Q(a) = > Cna'^ ou c„ = / — dx,
ridée m'est venue de chercher, en appliquant la méthode de Laplace, la valeur asymptotique de :^,;. Voici ce que j'ai trouvé; écrivant d'abord, au moyen d'une intégration par parties,
e-^ \o","x dx.
Je désigne par a: = ^ la racine de l'équation a:logJc = /« et j'obtiens
M. Bourguet a eu la bonté d'appliquer cette formule en supposant Ai^iS, afin de voir l'approximation. On trouve alors
et
Cl 7== 0,0000 OOOO OOOO 12. . .,
et l'une de ses Tables donne
Ci7 = 0,0000 OOOO OOOO 18. . . ,
ce qui est un accord plus grand que je ne pouvais l'espérer. Mais mon expression avec la quantité ^ ne fait que me confirmer dans mon sentiment de la nature analytique profondément cachée et abstruse de la transcendante. Comme ^ est évidemment moindre que /?, on reconnaît que la limite j)our n infini de
est inférieure à l'unité, ce qui est d'un mince intérêt.
J'espère que vous ne vous refuserez pas à la publication de votre lettre dans le Bulletin de M. Darboux, à qui je la donnerai.
à moins d'avis contraire de votre part. Pensez-vous aiix coupures des équations modulaires? Permettez-moi d'espérer que vous ne les oubliez pas, et veuillez agréer, mon cher ami, la nouvelle assurance de ma bien sincère et cordiale affection.
J'ai écrit avant les vacances à M. Bosscha qui avait eu la bonté de me demander si j'avais reçu le premier volume des OE livres de Christian Huygens, pour l'informer qu'il ne m'était pas parvenu. Pourriez-vous, si vous en aviez l'occasion, faire savoir que la maison de librairie qui doit me le remettre ne l'a point encore fait.
