STIELTJES A H ERMITE

Toulouse, i3 octobre i888.

Cher Monsieur,

Je vous remercie bien vivement de votre lettre c[ui me fait savoir que vous vous portez bien, et quoi que vous voudriez dire, je suis certain que vous continuerez encore à exeixerune grande inlluence sur les progrès des Mathématiques. Ce que j'ai surtout appris de vous, c'est cette conviction que la véritable nature des formules que nous employons nous échappe encore bien souvent et que rien n'est plus digne d'intérêt que de réfléchir sur leur véritable nature. Et que j'ai encore beaucoup à apprendre sous ce rapport; ma formule

Via) cos ir a = 1 + . . . — Qia)

en fait foi. En effet, je la connaissais depuis 2 ou 3 ans, mais je l'écrivais ainsi

Jf x^-'^ e'^ clx ^^V(a) co'iiza -\- —-, v. p. /

^-agUl-x) ^jc

Je l'avais obtenue en cherchant des formules qui permettent d'évaluer, avec une grande approximation, par une série semi-

convergente la transcendante

dans le cas où t est très grand. C'est un travail que j'ai eu même

aSb CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.

rinlention un moment d'insérer dans ma thèse. Mais c'est seulement dernièrement, lorsque ce travail incomplet m'est passé sous les yeux, que j'ai reconnu la nature véritable du résultat que j'avais obtenu. 11 y a, Monsieur, un léger inconvénient à insérer ma lettre dans le Bulletin; c'est qu'il doit y paraître prochainement un autre article de moi, cjui est déjà dans les mains de M. Darboux.

Mais j\ii repris mon travail sur / x'^" ' e^^' dx , et je pense en faire

un article pour nos Annales.

Dans l'article du Bulletin ('), dont je viens de parler, je fais voir que l'intégrale générale de l'équation d'Euler

dx , dv

est

(c = const. arbil

Votre expression approchée du coefficient c« dans le développement Q(a)^Sc«a" m'intéresse beaucoup. Vous savez que, du temps où j'étais astronome, j'ai gardé le goût des calculs numériques et des formules qui peuvent servir utilement dans la pratique. Je dois étudier un peu cette expression

Cn-l

Je ne suis point du tout étonné de l'approximation avec laquelle vous avez représenté ainsi c,?..., au contraire, j'incline à penser qu'on doita\oir ainsi une approximation bien plus notable encore.

J'ai vu que M. Hilbert vous a écrit une lettre (-) où il donne

(') Note des éditeurs. — Sur l'équation d'Euler {Bulletin des Sciences mathématiques, i' série, t. XII; p. 222-227; 1888).

(2) Note des éditeurs. — Journal de Liouville, 4° série, t. IV; 1888. Extrait d'une lettre de M. D. Hilbert à i\I. Hermite.

une idée sommaire de ses belles recherches algébriques dans les Mathematische Annalen. Ces recherches m'intéressent beaucoup et présentent quelques points de contact avec un travail que j'ai à peine commencé, mais dont le but final est de représenter, sous une forme élégante, les intégrales générales du système d'équations différentielles hjperelliptiques. Il est surtout important de voir clairement comment les constantes arbitraires entrent dans les formules. Le résultat de Jacobi l^OE livres, t. II, p. i3^ et suiv.) laisse beaucoup à désirer sous ce point de vue. Le résultat pour l'équation d'Euler est un premier pas dans cette direction. La formule de M. Lerch

g-u>ocx-a dj^

m'était bien connue, elle se trouve sous une forme légèrement différente dans le Traité de M. Schlomilch (t. II, 3*^ édit., p. '^6^)

/ —e-^ch=^——-z / e-t cit.

Mais il ne fait point de doute que M. Schlomilch n'avait point envisagé cette formule sous le même point de vue que M. Lerch.

Veuillez bien agréer, cher Monsieur, l'expression des sentiments respectueux de votre ti^ès dévoué.