STIELTJES A H ERMITE

Toulouse, !"■ novembre 1888.

Cher Mo^sielr,

Hier soir, en réfléchissant encore sur vos formules, j'ai trouvé l'explication de l'approximalion

, .yX 3.r f..v

En effet, en supposant .r ^ o, j'obtiens la formule

„, A cosR^ -1-1) arctanearl cosfCr-i-i) arctani! îr] = r(a7-M) h + 2 ^ -^ ^ +2 !— ,^; ^

(•osr(.r-Hi) arctan<;67:l cosr(a:-i-i ) arc tan<r8-l )

en sorte qu'on a en première approximation

,^ , . ,, 2 cosT* .r -J- I) arc tan<ï9,7îl

fonctions elliptiques

I e^"^^dx=f f{x)dx=-^i/-,

Veuillez bien excuser la précipitation avec laquelle j'écris ceci, je voudrais vous lépondre avant mon départ pour Aucli et, demain, je suis pris aussi par une alVaire.

Dès que je le pourrai faire, je reprcndiai le calcul de lî(.r) — T {x -t- \) aver plus de soin pour a; = i, 2, 3, ....

Le cosinus, dans celle formule, explique bien les varialions de signe qui se montraienl en considérant R(;r) — r(a: + i). J'obtiens celle formule à l'aide d'un résultat dû à Dirichlet

A„ = — / f(t)cosntdt,

- Ao M- Al + A2 -f- A3 -t- . . . =/(o) -H -ifiliz) -\- 9./( 4 tt) -+- 2/(6:1) -i- ... . Il n'j a qu'à prendre

2 r(.r -^ I ) cnsff.î; -I- I) arc lani;( 9. /«- )|

Après quelques réductions, vous trouverez le résultat que je viens d'écrire. Voilà un résultat qui vous fera plaisir peut-être et qui me dispense des calculs à faire.

J'ai voulu vous communiquer ceci encore. Comme cliez vous, ma première impression a été que l'approximation entre R(^) cl r(:c-l- i) ne commencerait à se montrer que pour de grandes valeurs de x^ ensuite que le calcul numérique serait très fastidieux. Heureusement, je ne me suis pas contenté de cette première impression.

A olre bien dévoué.