H ERMITE A STIELTJES

Paris, 2 novembre 1S88.

MoiV CHER AMI,

Je désire que vous trouviez, au retour de votre voyage à Auch, l'expression de l'étonnement infini que vos calculs m'ont causé, de la joie que j'ai eue et aussi de mon humiliation profonde d'avoir accordé si peu de confiance à la valeur asymptotique de R(^). C'est dans un article du Journal de Borchardt, tome 90, page 33 1 , que vous trouverez l'origine de celte fonction, qui est définie ainsi :

par conséquent, comme vous le faites clans le cas de « = 1 , et qui donne régalitc

— y. ( n ) li ( .r — n)

ou j ai pose

J'ai eu le tort de n'a> oir point vu et de n'avoir pas dit cjue cette relation a lieu pour a = 1 ; voici ce cjui m'a arrêté bien inutilement. Ayant fait

|)uis

en posant dans le second membre ^ = /?« + (i^, j'ai eu crainte cjue, dans le cas de « = i , pour le premier terme correspondant

à /i irz I , où entre l'intégrale

(\-\-X,Y-^e<dl,

il n'ait pas été permis d'emplojer, sous le signe d'intégration, le dévelop|)ement de la puissance (i + J^)-^"', parce que développement, à la limite ^ = 1, est divergent quand x — i est négatif. Mais ma crainte n'avait pas de fondement, car le développement en cjuestion conduit à la valeur suivante :

ou

Il n -T- I I . -2 . ( /t -h 2 )

Or le second membre est une série toujours convergente; remplacez, en eflet, r*(/3) par la quantité j)lus grande — et envisagez la

LETTRE lis. 277

nouvelle série, dont le terme général est

Un = - '

vous aurez

ii„+i (^ — n — i).n

et la règle de Gauss montre immédiatement la convergence de la série Hua-

Il est donc parfaitement permis de supposer « = 1; mais, l'expression ainsi obtenue

Q(^) = PiR(:ï- — i) + ^-:zip2R(^.2)4...

ne m'apprend rien sur la diflerence Q(^) — R(^ — i).

Vous seul, cher ami, par la puissance du calcul numérique, vous avez eu l'intuition du mode d'existence de cette c[uantité; également, je vous fais mon compliment d'avoir rattaché la question à la comparaison entre l'intégrale

/ f{u)du

et la somme

mais que d'efTorts à faire avant d'atteindre ce but. Mes sentiments affectueux et bien dévoués.

M. Bourguet, professeur à l'Institut catholique, demeure rue de Rome, 55.