STIELTJES A H ERMITE

Toulouse, i\ novemln-e 1888.

Cheb Monsieur,

Voici l'exacte vérité concernant l'article de M. Lerch dans les Acta. Le fascicule des Acta où se trouve ce travail, je l'ai entre les mains, il j a je ne sais combien de mois. Je n'y ai jeté alors qu'un coup d'œil et sans l'étudier à fond, les formules paraissant assez. compliquées. Aussi, dans mon esprit, il n'en restait que ce souvenir un peu vague qu'il s'agissait d'une généralisation de la fonction 'C{s) de Riemann. Mais, lorsque j'ai réfléchi à l'expression asjnq)totique de votre fonction R(.27), Vidée ne ni'esL pas venue un instant qu'il pourrait y avoir quelque rapport avec le travail de M. Lerch. Ce n'est qu'après avoir terminé mon travail et avoir remarqué l'analogie de la transformation dont je fais usage avec celle indiquée par Riemann pour obtenir la relation entre "^{5) et^(i — 5), que l'idée m'est venue d'examiner plus attentivement le travail de M. Lerch. C'est ce que j'ai fait lundi soir, après les examens de la licence. Et j'ai \u alors immédiatement que mon résultai doit être compris dans celui de M. Lerch, quoique je n'ai pas encore fait les calculs nécessaires pour le constater effectivement.

La généralisation de M. Lerch revient, en somme, à ceci qu'il considère au lieu de

a82 CORRESPONDANCE D'ilEiniITE ET DE STIEI.TJES.

série proccdanl suivant les puissances de -, une série procédant

suivant les puissances d'un nombre quelconque de module inférieur à l'unilé et qu'il écrit sous la forme e'^ en supposant

37 = a -1- /[>, fi > o.

Peut-être, si au lieu de poser on avait posé

«' (t •- Il «^ rt -H /'

qu'on serait amené à introduire

«r (a-^bY (a^-:>.b)->l\ .r)= — -i — T ■- ■ --7 i- • • • ,

ce qui réalise ce qu'il y a de plus essentiel dans la généralisation de M. Lerch. Mais le temps me manque en ce moment pour vérifier ceci.

La comparaison de

lixç-i, (lu

me lait su})poser que la valeur asjmptotique doit être alors ,

Si CCS prévisions sont exactes, ne vaudrait-il pas mieux alors refaire mon article en considérant

Je crois que oui, mais je ne pourrai rédiger mon travail que dans quelques jours. Je vous le soumettrai alors pour j changer, si cela vous paraît nécessaire, quelques mots dans l'extrait de vos lettres qui y figurera.

J'ai examiné, à Auch, un peu ce que vous m'avez dit de l'application de la méthode de Laplace à certains cas où cette méthode

LETTRK 14-9. 283

donnerait des résultats inexacts. Je voiis avoue que j'éprouve quelque difficulté à l'admettre, dans le cas

6 I I =1 — Cl (7 cos "2 a? -I- '2 7 ' cos 4 -Z" — • • • ,

le coefficient de x"^ se met sous la forme

et il me semble qu'il faut appliquer la méthode de Laplace aux expressions A et B séparément. Si l'on trouve alors, pour A et B, la même expression asjmptotique (ce qui me paraît très probable), on ne peut rien conclure, ou plutôt on peut dire alors seulement que la valeur du coefficient devient très petite par rapport à A et à B. Mais, dans le cas

\ -\- iq cos ■}. X -I- '4 (/ '' r os 4 •^' H- • • . ,

le coefficient de x" est

et il me semble que la méthode de Laplace doit alors donner un résultat exact.

J'ai remarqué que votre élégante démonstration de

v/-iT(« H- e. )

s'applique aussi à

rlr — C

- — v«-ie 'ly dy

{i^ X = ey).

En posant avec vous

' ~ ^'^ = e-Qj (o<0<i),

il vient, après réductions,

Votre très sincèrement dévoué.

Mon

CORUESPONDANCE 1) HEUMITE ET DE STIELTJES.