HERMITE A STIELTJES

Paris, i8 novembre 1888.

Mon cher ami,

Je n'en ai pas encore Uni avec les examens du baccalauréat, j'ai demain une dernière séance à la Faculté des lettres, et puis a cette besogne ^a succéder une autre d'une autre nature, il faut m'occuper de la rédaction d'un rapport dont je suis chargé, de sorte que je ne sais quand je pourrai pour mon compte étudier le Mémoire de M. Lipschitz c[ui me semble fort beau. Je ne puis assez vous dire quel plaisir m'a fait votre équation que je préfère écrire de

cette manière

/ -ir. a

cos arc tani; -, — ■iT.-r \\{t — \) 1 \ "6 b J

cos arc taii" -;-

Vous me permettrez pour le cas où vous auriez à l'employer de NOUS indiquer comment la décomposition de l'intégrale

J = ^"^^-ic'-?f/£, • il en termes de la forme

..<i + (n-\)l> 'n + nl,

de sorte qu'on ait

conduit à la notion de la fonction

€"■ ga-^b

J'observe, à cet effet, qu'en posant ^ = « + «6 + /, on a

J„ r= J I (a -{- iib -^ ty^-i e-' df,

et que, pour toutes les valeurs de /i, à partir de n = i , le développement suivant les puissances de ^, par la formule du binôme, de (« + tib -h ty^'~^ 1 donne une série convergente entre les limites / r= o, t^ù. Il en serait encore de même pour n = o, sous la condition ayb\ mais il est préférable d'exclure l'intégrale Jo, en considérant la différence J„ — Jq cpii est l'intégrale

comme vous allez voir Soit

nous avons

I t'" e-t dt.

J« = --è^i, Po(« -+- nby-^ -i- '^— i P,(a + nhy-

de sorte qu'en posant

Pm(«+ nbf-'^-'

on obtient immédiatement

pour /« = r , 2, o,

= PoR(^)+^^^P,R(a7-i)+ ^•^~'^^''^"'^^P,R(;r-2)-t-.... 1 1.2

Changeons maintenant a en a — b^ afin de parvenir à l'intégrale proposée J ; ce changement reviendra évidemment à prendre à partir de n = o, au lieu de /2 ^ 1 , le terme général de R(^), de sorte qu'en modiliant ainsi la définition de R (:?■), on a la formule

J = PoR(a:)-f- Pi ^^=^R(^-i) +....

11 n'y a donc pas à s'embarrasser des questions de convergence et tout devient fort simple grâce à vous, à l'idée qui vous appartient d'une décomposition de l'intégrale plus générale que la mienne; mais n'est-ce point singulier qu'on parvienne par une telle voie à l'extension de la fonction si'^) de Riemann!

290 CORRESPONDANCK 0 HEUMITi: KT DE SÏIELTJES.

En VOUS priant de nie donner à l'occasion quelques explications sur votre procédé poui' parvenir à la relation qui m'intéresse beaucoup r(/î H- a) = [ai -h ((7 — i)0]"r(/i) et vous tlemandant d'attendre que j'aie plus de liberté pour revenir à l'apj)lication aux

séries 6 / __ ) et 0, ( — — )> de la méthode de Laplace, je vous

renouvelle, mon cher ami, l'assurance de ma bien sincère affection.