STIELTJES A HERMITE

Toulouse, dimanche malin (') (/xi novembre i8^8?).

Cher Mo>siEuii,

Je suis on ne peut plus touché de l'extrême bonté que vous montrez à mon égard. Mais M. Lipschitz étant le premier inventeur, je veux voir d'abord le travail qu'il va faire insérer dans le Journal de M. Kronecker; s'il n'y parle pas de l'application à votre fonction R(:r), je pourrais peut-être plus tard donner une Note où j'appellerai l'attention sur cette application.

En faisant dans la relation

a ^ - et remplaçant n par n H- i

r(/«-+- -j = \J}i ^ \ — zV{n + \), o<£<--

Je vois que ce n'est pas votre formule mais prenons «= - et remplaçons n par ;? H — - d ^ient

ou

/ \.'i...(in — 1) /-

I = l//( -(- £ ^TT,

ce qui est bien votre résultat qui est ainsi compris dans la formule (i).

(') Note de l'éditeur. — Celle iellre non daléc ne par;iit pouvoir se rapporter à une date autre que le a3 novembre i888.

En posant i -\- x = e" dans la formule

T(a)rin) f x»-i

djr.

on peut écrire sous deux formes différentes

T{a)r{n) r °" / rr — I «-1

Tia^n) J^ \ y J -^ ^

Ajant

on voit, d après la seconde lorme, que -=; — — — est comiîns entre

les deux limites

ce qui donne la formule ( i).

Mais voici une autre conséc|uence. D'après ce qui précède on a ces deux formules

r(a-t-nj J^ V y

Développons

gv — , \a-\

on aura en même temps

= I — C,7 -^ Co J2 c.,yi + . . . ^

et, à l'aide de ces séries, on obtient

r r a a (a -m) «(«-hi )(«-+- 2) "1

— - 1+ -Cl H C.H r C3-T-... ,

C), C2, ... sont évidemment des polynômes en a.

Lorsque â-. est un entier négatif « = — m, il est clair que la série (5) est finie et ainsi la formule est valable quel que soit n. Et, du reste, la relation

\^ Il n- /

permet de calculer la série indéfinie des polynômes P de m ou

de a. Lorsque a est un entier positif a = + /n, la formule (5) se

réduit à

et la série est convergente tant que mod/? >> /?« — i .

Mais pour toute autre valeur de a la série (5) est divergente (juel cjue soit le module de n. Cela est évident ici, car la série

n'est convergente que pour moày <Ci-rz\ or, on a multiplié les coefficients c par ces facteurs

a, rt(rt + i), a(« -i- i)(a H- 2), ....

Les anciens analystes, après avoir établi la formide (5) pour /î = — m

I Pi P-

ont cpielquefois pris le second membre, dans le cas que m n'est plus entier, comme définition d'une généralisation de la factorielle

( /i — \)( n — ■!). . An — m).

sans faire attention à la divergence de la série, ce qui explique les résultats erronés auxquels ils ont été conduits quelquefois. M. Weierstrass a fait voir d'une autre manière cjue la série (5)

est toujours divergente i^Abhandliuigen aus der Fiinctioneii-

lehre, p. i\\-i\^).

Il fait voir d'abord que si la série était convergente elle devrait

représenter nécessairement la fonction =- pour toutes tes

valeurs de n dont le module surpasse une certaine limite. Mais cela est évidemment impossible, car en posant

n = Re'? (ceci n'est pas le raisonnement de M. Weierstrass),

et faisant croître '.2 de o à 2—, le premier membre revient à sa valeur primitive, tandis que le second membre est multiplié par e"''*-^. Du reste aussi, en posant /z = — m, m. entier positif suffisamment grand, on rencontre des contradictions.

Mais quoique ces formules (4) et (5) soient divergentes, ce sont cependant les séries asjmptotiques des premiers membres, et elles peuvent servir aussi au calcul numérique lorsque n est grand et positif.

J'ai vainement cherché (il y a quelques années) à établir une théorie satisfaisante de ces séries divergentes. Voici encore une remarque à leur égard. Je remplace n par — n dans le premier membre de fS)

r ( — « ) r ( — /? ) r ( rt H- 1 ) r ( « — a -1- r )

sinTrfn — a) X(n — a-hi) simr/i r(rt -h i)

donc, d'après (4)

Yi^—n -H a)

I r a a(a-!-i) 1 siii7T(/t — a = I -^ Cx^ Co -i- . . . X ^ ■

On peut donc changer dans la formule (5) n en — n k condition de remplacer ( — n)^ par n"^ x —. -, — ^^ • On trouve un

^ ^ ^ ' snnr(ft — a )

résultat analogue lorsqu'on change n en — n dans la formule (4)- Existe-t-il une formule plus générale qui embrasse les formules (5) et (5') en même temps? Question qui paraît extrêmement difficile. J'incline à croire que, pour pénétrer un peu dans ces mystères, il faudra revenir d'abord à l'étude de la série de

2g4 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIKLÏJES.

Slirling.

(6) log V(a) — (a j loga — a — logv/2- -+- <P{ a),

M. Lipschilz a considéré le cas a imaginaire, mais partie réelle de « >■ o ; dans ma thèse j'ai trouvé qu'aussi lorscjue a est purement imaginaire la formule reste applicable, mais j'ai observé depuis longtemps que même lorsque la partie réelle de a est négative la formule peut donner une grande approximation.

Supposons une coupure de o à — x, la fonction Log r(a) est

uniforme alors et j'espère qu'un jour on fera une théorie de la série de Stirling cjui montre qu'on peut l'emplojer dans tout le plan, seulement lorscjue a s'approche de la coupure, le terme complémentaire doit changer brusquement. La grande difficulté ici, c est de trouver une expression de

*(«)--= / log

a dt

ou de

c|ui donne la continuation de celte fonction à gauche de l'axe des y. Vous avez remarqué depuis longtemps dans le Journal de Crelle (-) la ligne de discontinuité de ces intégrales, qui est cause que, quoique ces intégrales aient un sens pour partie réelle a <; o, on n'obtient pas ainsi la continuation (qu'on sait possible) de la fonction.

Je ne suis pas sans espoir d'obtenir cette continuation à gauche de l'axe desjK, mais même après ce premier succès il restera à voir si l'expression obtenue se prête à la discussion de la série de Stirling. Mais voilà la fin des vacances, mes cours vont re commencer mardi et demain j'ai encore les bacheliers es lettres.

(') Noie des éditeurs. - T. 9-J, p. iji; i88î.

Veuillez toujours me ci'oire, mon cher Monsieur, voire afleclueusement dévoué.

P. S. — On pourrait faire usage de la formule (4) pour discuter la variation de v; — -1 .r variant entre — «et — /iH- 1, /z entier positif. Soit X ^^ — Il + a

I ( — i)" sin-Tia ,^ , ' l (^ n -i- i — a ),

-— = ^ sin TC« X rt^'* I H c

En première approximation, on aura à discuter

a variant de oà i. Annulant la dérivée, il vient

TTCOtTia = Logn ou — ^ hosn.

C'est précisément le résultat auquel vous êtes arrivé dans votre lettre à M. Schwarz. {Crelle, t. 90, p. 387.) Mais votre méthode me semble plus élégante et rigoureuse.

Il me semble curieux qu'on peut passer de la définition

(a) r(a) = / it^-i e-» f/«,

supposant partie réelle « >> o, à une autre définition valable dans tout le plan ainsi qu'il suit. Soit n un nombre positif qui croit indéfiniment, on a

Y {a) = liin / ««-> e-" du,

ou bien développant en série

(B) r(a) = lime"«| ^~ -\ —

L rt rt -)- [ I .-i.^a-

mais (^) donne maintenant la définition de r(rt) dans tout le plan. En effet, en adoptant ( j3) comme définition, il vient à l'aide de

296 CORRESPONDANCE n'ilERMITK ET DE STIELTJES.

c'est-à-dire

a Via) = V(a ^i).

Celte transformation montre que la dérniition ([i) donne une valeur finie pour r(r/), si c'est le cas pour F (a -\- i), mais tant que partie réelle a >> o, il est clair que (a) el (j3) sont équivalentes. . .. Mais je crois que cette remarque peut être à peine considérée comme nouvelle.

Votre méthode directe |)our déterminer le rang du terme

maximum

(a ^ iib I*' -, — >

f>a-{-ub

est certainement préférable. Il est probable que l'on a imaginé la méthode moins directe d'égaler deux termes consécutifs, pour traiter certains cas où la méthode directe s'appliquerait difficilement. Mais ce n'est pas une raison ]>our faire usage de cette manière détournée dans les cas où la méthode directe s'applique sans difficulté. Surtout dans le cas actuel où le résultat est si simple.