HERMITE A STIELTJES

24 novembre iS8<S.

Mon cher Ami,

Votre dernière lettre si substantielle, si instructive m'a rendu grand service.

Je donnerai dans mes leçons votre calcul qui est extrêmement simple pour établir la relation

Via -^ n) ^\n ^(a — i)Q\" V(n),

que j'aurais bien dû voir même comprendre, comme cas particulier, celle que j'avais envisagée. Et aussi votre procédé élégant pour établir l'égalité Y{a -^ \) ::= aV (n) au moyen de l'expression limite ])our X infini de T [a) par la quantité

L rt ^- I I . 2 . ( rt -

Maintenant, voici une circonstance dont je dois vous faire part et que vous ne pouviez jioint s()U|)çonnei'. M. Bourguel a eu.

LETTRE I5i. 297

comme vous, l'idée de rechercher l'extension à toiil le phm de

l'intégrale

a dt

et m'a donné communication d'un travail étendu dans lequel il

expose sa méthode et ses résultats Son travail me semble

d'une grande importance, et je suis autorisé par lui à vous en donner communication, si vous le désirez. En même temps, j'ai mission de vous informel- cju'il désire se le i-éserver, et qu'il vous prierait dans ce cas de garder la communication pour vous seul. C'est pendant les vacances et en cherchant la solution d'une question cjue je lui avais indiquée c[u'il a fait la découverte. Ma question était d'obtenir l'expression qu'on connaît d'avance, delà différence

et vous verrez avec grand intérêt dans son travail, de quelle manière il la traite et comment ensuite il arrive à l'extension de l'intégrale, de l'autre côté de l'axe des ordonnées. En attendant cjue vous me fassiez connaître, si je dois vous l'envoyer, je viens, mon cher ami, vous demander pour moi, aide et protection en vous priant de me tirer d'une angoisse analytique extrême. Votre

belle formule

■zm: ina-K

cos arc tang

Rix — i) 1 v» ^^ " ^ b / i

conduit bien naturellement à supposer b inGni, en posant . = c/ç, ce qui donne

R(a" — 1) y^"*""" cosf arc tang'iTr^ — 'iT.a\\ ^

ou encore

R(a" — I) I Z^"*"* cos( arc tang^ — a\)

cos(arctangç — a\) ^

jgS CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.

Or, 11 me soinl)lp que pour b infini, on a

tandis qu'on reconnaît, si l'on écrit

/^" cos(arc tangî — «ï) /^* cosa^f/; /^" ^sinr/^rf;

que c'est absolument impossible.

Effectivement, pour x -^ i égal à un nombre pair 2/1 et pour /z = 1 , 2, 3, . . .. on se trouve en complet désaccord avec la formule de M. Catalan, Journal de Liouville, t. V, p. 11 4,

2 /*°° co%ald^ e-^ .„, ^ ,, , ,

(j'y change a« en n + i). J'avais accueilli l'espoir d'aborder autrement que M, Bourguet, dont l'analjse est d'ailleurs si remarquable,

l'élude des coefficients du développement de — — - suivant les

|)uissances croissantes de la variable, j'espère encore avoir fait (pielque grosse méprise que vous reconnaîtrez, de sorte que votre formule ne laissera pas échapper la conséquence que j'avais espéré en tirer.

En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de ma bien sincère affection.