STIELTJES A HER.MITE

Toulouse, 26 novembre 1888.

CuEU Mon s i EU n.

Quoique très occupé, je veux répondre immédiatement à votre lettre, mais je dois d'avance implorer votre indulgence si sur cerliiins points je ne peux pas mettre les points sur les i.

En premier lieu, vous me ferez le plus grand plaisir en me communiquant le travail de M. Bourguet et je ne manquerai pas après 1 avoir vu d'adresser mes remercîments à l'auteur. Je suis

LETTRIÎ 155. 299

curieux de savoir si les formules nouvelles se prêtent à la discussion de la série de Stirling; c'est, comme vous le savez, le but que j'avais en vue.

Vous dites que M. Bourguet n'est pas géomètre de profession, mais je crois qu'aucun géomètre de profession ne serait fâché d'avoir fait ce qu'il a fait, par exemple la belle démonstration d'une formule de M. Weierstrass qu'il doit avoir donné dans son examen de doctorat et que vous avez fait connaître dans votre lettre à M. Mittag-Leffler {C relie, t. 91, p. 61).

Maintenant, Monsieur, j'ai encore à vous faire mes excuses : je crois bien qu'après avoir posé

R(x) bR(x — i)

j'ai écrit

incos I arc tane — r-

au lieu de

in:

, ^ , - cos ( .r arc tanç — =—

o < <x S ô, Partie réelle .27 > i .

C est cette erreur qui vous a causé tant d'ennuis; en reprenant avec la formule exacte vos calculs il vient

/^°° cos(^a7 arctangç — « ; ) ^ r,x-i^-a

K{x — i) étant égal à a-*^' e''^ pour b = -^ ce.

La formule (I) qu'on obtient ainsi me semble très remarquable et j'ai éprouvé un vif plaisir, en la trouvant ainsi d'après vos indications ; moi-même je n'avais pas songé à cela. D'après la déduction il semble qu'on doit supposer