Partie réelle ^ > o

el que (1) doit subsistei' sous celte condition. Cela me seml)le bien certain si par exemple x est supposé réel. Mais voilà déjà un point que je ne peux pas préciser en ce moment, faute de loisir.

Mais j'ai observé que la formule (I) a un rapport très étroit avec un autre résultat dû à Cauchy. Dans le Bulletin àe Darboux, p. 35, 36, i88i, il y a un résumé d'un article de M. Schlomilch (t. XXIV, de son Zeitschiift, p. io3-io6; 18-9). J'en ai pris note. D'abord on emprunte à Cauchj ce résultat

, „ 1 o a négatif,

J« {b-+-izf I --^aA-i^-a6 a positif,

en prenant a =^ b = i . M. Schlomilch déduit du résultat

'"" mr^-f

dz

le développement

Or, si Ton prend 6 = 1 et qu'on suppose k réel, la formule (II) de Cauchy doit donner évidemment la formule (I) et encore cette généralisation obtenue par l'introduction de b n'est pas bien

essentielle. . . il suffirait de remplacer ; par y et a par ab pour déduire de (I)

et c'est là précisément ce qu'on déduit aussi de la formule de Cauchy.

Vous voyez donc que M. Schhhnilch a fait déjà, à peu près,

l'application au développement de - — - que vous a\iez en vue.

LETTRE 155. 3oi

mais il est instructif de retrouver la formule de Caucliy de cette façon.

Voici maintenant une démonstration de cette formule de Cauclij qui se présente à moi en ce moment même. Partant de

■iTZl ./

remph

acons z par a z

:pc

r(.r) ou bien remplaçant z par i

-■^e- dz.

Z-x gaz clz^

«■^-1 I r e^'- dz

le contour d'intégration étant

Soit z =^ 1/ — ùi, h étant réel positif

27rJ (

e«''" du

T(x) 1TZ J {b -\- iu)X

le contour d'intégration étant maintenant un lacet entourant les points bi et + oc,.

Mais si partie réelle x > i l'intégrale est nulle et l'étendant par

3o2 CORRESl'ONDANCi; d'hERMITE El DE STIELTJES.

des valeurs infinies de u telles que le coefficient de i n'est pas négatif. Dès lors, on j)eut transformer le contour d'intégration de manière à obtenir le résultat de Cauchj

e«"' du

Mais cette transformation me semble bien exiger Partie réelle ,r > i ,

tandis que la formule (I) semble vraie, en supposant