T- IZ

'cos(«^ — xavciax\",z) , . /^ °°sin(rt3 — .rarctanfr-) , ^7- az-h i I ^^ : — '- dz^

et vous voyez que, dans le second membre, la seconde intégrale est nulle.

La première forme est même préférable, par exemple, pou en conclure immédiatement, au moyen d'une intégration par parties,

l'équation

\{x ^ \) = xY{x).

M. Lercli m'a fait part d'une méthode simple et élégante, pour exprimer Q(rt) au moyen de la série généralisée de Riemann

que je vais vous indiquer, pensant qu'elle vous plaira comme à moi. M. Lerch prend comme point de départ cette relation

r(a)Q(I — rt)=/ g-wU-Hl)^a-l •^ 0

dx

et la transforme ainsi

Q ( 1 — a ) = / • — -, — -. x«-i dx,

où u désigne une constante arbitraire. Puis il écrit

— > p—nu(x+\)

Il

en posant

*(/i) = / t"-W dt.

LETIRK 157. ' 3o5

On a ainsi

ra)Qii — rt| = > ^ / r dx;

\ l^\ ^ \.-i....(n—l) J^ e«':r-Hli,

or, on trouve facilement qvie

/•»» g-U)U-i-l}^a-l cix

la relation précédente devient clone

2^( n) ^ — r ( a -1- n — I ) cîil ( — a -}- /i -1- I ) I . i ...(/* — 1 j ' '

= r ( a ) \ ( a -f- « — 2 )n-\ * ( « ) >:'l (— « — « -h i ). Et, en changeant « en i — a, on en conclut

Q(a j = \ (— i)"-i(rt — i)„i ^(«jc'R ('a — n) (/i = i,'2, 3, ...).

Ce résultat difïei'C un peu de celui que j'ai obtenu, en ])artant de la décomposition que j'ai employée

foo ^ O) + ( n + 1 ) //

xa-X Q-x ^/^ X / y.a-l g-x clx^

(O -+- nn

en transformant les intégrales par la substitution j:- ;x= w + /jw + f, mais on le trouvera si l'on pose x =: lo + (/i -|- ij^f — ^, comme vous le verrez immédiatement.

Mes sentiments affectueux et bien dévoués.