X -\- in-a

b{b + X) ibcib -h x) 'ib(3b -h x)

X L\6 b -h X / \ 26 -ib-hx/ J

LV ' + 7,' V ^-s' J

en désignant par 'ii{a:) la dérivée de LogT(;r) et par

la constante eulérienne.

D'après cela

(a) u{a)=- 'Mu )-\-L\dx.

' TT .7 X l \ ■J.izaJ J

Il sendjle que par une inadvertance il s'est glissé cfuelque erreur dans la formule en haut de la page 1 3 du manuscrit de M. Bourguet. En effet, on devrait avoir

logr(a)=log^^\""^^ +s, ° a sinTia

e étant inférieur à o,oi et 0'<a<Ci. Mais cela est inexact, en ajoutant log«, on aurait

logr(i + «) = iog^^^"=^ +s.

Cela n'est pas vrai, comme on le voit en posant r/ = o ou « = -

Mais ce ne sont là que quelques remarques qui se sont présentées d'elles-mêmes en parcourant le manuscrit et qui certainement n'auraient pas échappé à l'auteur s'il revient sur son sujet.

En vous écrivant la dernière fois, je n'avais pas eu le loisir d'examiner à tête reposée quelques difficultés que j'ai signalées moi-même dans ma lettre. Mais comme je vous avais par ma faute causé l'embarras d'une formule manifestement fausse, je croyais de mon devoir de vous en indiquer la cause le plus tôt possible. J'espère dans quelques jours pouvoir vous écrire sur les points obscurs de ma dernière lettre.

Je vous renvoie ci-joint le manuscrit de M. Bourguet et, dans la supposition que vous lui donnerez communication de cette lettre, je lui exprime aussi tous mes remerciements.

En posant

r'" s'inu ,

o{x) = I au,

J,. Il

une intégration par parties donnerait en partant de (a)

ou

mais la formule ([j) suppose que

s'annule pour x ^ o et pour x = H-co. Pour .r = o cela a lieu quel que soit a, mais je ne sais pas en ce moment si pour ^ := co

3o8 correspo.\da.n<:e d'iiermite et de stieltjes.

cela est encore vrai, quel que soit a; naturellement 'j(co) = o,

mais 'ji ( I + ;-^— ] devient infini.

La manière dont '^{x) s'approche de zéro pour ^ = co résulte de la formide

Cite--'" , C^ e-^^ du

où

f du < / «e-* " du — — - ?

/ du < / e--^" du = - .

is(a;) = • • • terme principal.

Lorsque a réel > o, '|( i H- 7^7-) devient infini comme log\r;

ainsi, dans ce cas, il n'y a pas de doute. Mais vous voyez qu'il reste encore là bien des recherches à faire.

Veuillez bien agréer, cher Monsieur, l'expression de mes sentiments respectueux et très dévoués.

P. S. — Laformule (jB) étant exacte pour a réel et positif, il resterait à voir seulement si l'intégrale conserve un sens pour d'autres valeurs de a. Ce sera là peut-être plus facile qu'à étudier

'i» ( I -t- ~ — ) pour X ^ ce.

Pour a = -i- 00, a u ici) = — , ^ / 9 \x) dx = ,. / 9 (x) c/^ = -,

' t ^ ^ T.- b Jq ' ' b J^ ' ^ • 6

ce qui est exact.